Questão 55 (Repunits). Resolva:
b) Mostre que todos os números da sequência
são quadrados perfeitos.
b) Mostre que todos os números da sequência
Passo 1
O enunciado dá a sequência de inteiros
e pede para mostrar que todos os seus termos são quadrados perfeitos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os primeiros termos dados são
, , , . - A tarefa é provar que cada termo da sequência é o quadrado de algum inteiro.
Passo 2
Vamos inspecionar os primeiros termos e tomar uma hipótese. Calculemos as raízes quadradas dos três primeiros termos (observação direta):
Percebe-se um padrão nos radicais: para o
-ésimo termo a raiz parece ser o inteiro formado por
algarismos
seguidos de um
. Vamos denotar esse inteiro por
. Descrever
em forma fechada ajuda a trabalhar algébrica e rigorosamente.
Para escrever
como expressão numérica:
tem
dígitos, sendo o dígito das unidades igual a
e os restantes
dígitos iguais a
. Assim
Aqui usei o fato de que o termo
representa um
seguido de
zeros, ou seja, um algarismo na posição
.
Agora aplicamos a soma da progressão geométrica (soma finita): para
vale
Tomando
obtemos
Simplificando essa expressão:
Verificação rápida de integridade: como
temos
, portanto o numerador é divisível por
e
é inteiro. Isso confirma que a forma fechada é correta e dá exatamente o inteiro com
algarismos
e final
.
Passo 3
Agora vamos calcular o quadrado de
e mostrar que ele tem exatamente a forma decimal dos termos da sequência. Começamos elevando ao quadrado a expressão obtida:
Queremos ver que isso coincide com o número cuja representação decimal contém
algarismos
, seguidos de
algarismos
e terminado em
. Escrevemos esse número explicitamente como soma de potências de
. Denotando por
esse termo da sequência, temos (posição dos dígitos indexada de
a
):
Agora calculamos as somas geométricas:
Substituindo em
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar a verificação:
Expandindo:
Portanto
Isso mostra que o
-ésimo termo da sequência é exatamente
, com
inteiro.
Passo 4
Resumo e conclusão didática (como aplicar isso numa prova): a observação dos primeiros termos sugere que a raiz inteira tem padrão de algarismos. Expressa essa raiz em forma fechada usando soma geométrica e simplifique para obter uma fórmula simples e inteira,
. Eleve ao quadrado e manipule algebricamente para recuperar a forma decimal do termo da sequência (usar soma de potências de
e multiplicar por
para comparar numeradores facilita a verificação). Assim fica claro e verificável que cada termo é quadrado de um inteiro bem definido.
Resposta
Todos os termos são quadrados perfeitos; o
-ésimo termo da sequência é