Questão 55 (Repunits). Resolva:
b) Mostre que todos os números da sequência 49,4489,444889,44448889, \ldots são quadrados perfeitos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de inteiros
49,\;4489,\;444889,\;44448889,\;\ldots
e pede para mostrar que todos os seus termos são quadrados perfeitos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os primeiros termos dados são 49, 4489, 444889, 44448889.
  • A tarefa é provar que cada termo da sequência é o quadrado de algum inteiro.

Passo 2

Vamos inspecionar os primeiros termos e tomar uma hipótese. Calculemos as raízes quadradas dos três primeiros termos (observação direta):
49 = 7^2, \qquad 4489 = 67^2, \qquad 444889 = 667^2, \qquad 44448889 = 6667^2.
Percebe-se um padrão nos radicais: para o n-ésimo termo a raiz parece ser o inteiro formado por n-1 algarismos 6 seguidos de um 7. Vamos denotar esse inteiro por s_n. Descrever s_n em forma fechada ajuda a trabalhar algébrica e rigorosamente.
Para escrever s_n como expressão numérica: s_n tem n dígitos, sendo o dígito das unidades igual a 7 e os restantes n-1 dígitos iguais a 6. Assim
s_n = 7 + 6\bigl(10^1 + 10^2 + \cdots + 10^{\,n-1}\bigr).
Aqui usei o fato de que o termo 10^k representa um 1 seguido de k zeros, ou seja, um algarismo na posição k.
Agora aplicamos a soma da progressão geométrica (soma finita): para m\ge1 vale
10^1 + 10^2 + \cdots + 10^{m} = 10\,\frac{10^{m}-1}{9}.
Tomando m=n-1 obtemos
s_n = 7 + 6\cdot 10\cdot\frac{10^{\,n-1}-1}{9}.
Simplificando essa expressão:
s_n = 7 + \frac{6}{9}\bigl(10^{\,n}-10\bigr) = 7 + \frac{2}{3}\bigl(10^{\,n}-10\bigr) = \frac{2\cdot10^{\,n}+1}{3}.
Verificação rápida de integridade: como 10\equiv1\pmod{3} temos 2\cdot10^{\,n}+1\equiv 2\cdot1+1\equiv3\pmod{3}, portanto o numerador é divisível por 3 e s_n é inteiro. Isso confirma que a forma fechada é correta e dá exatamente o inteiro com n-1 algarismos 6 e final 7.

Passo 3

Agora vamos calcular o quadrado de s_n e mostrar que ele tem exatamente a forma decimal dos termos da sequência. Começamos elevando ao quadrado a expressão obtida:
s_n^2=\left(\frac{2\cdot10^{\,n}+1}{3}\right)^{\!2} =\frac{4\cdot10^{2n}+4\cdot10^{\,n}+1}{9}.
Queremos ver que isso coincide com o número cuja representação decimal contém n algarismos 4, seguidos de n-1 algarismos 8 e terminado em 9. Escrevemos esse número explicitamente como soma de potências de 10. Denotando por a_n esse termo da sequência, temos (posição dos dígitos indexada de 0 a 2n-1):
a_n =4\sum_{k=n}^{2n-1}10^{k}+8\sum_{k=1}^{n-1}10^{k}+9\cdot10^{0}.
Agora calculamos as somas geométricas:
\sum_{k=n}^{2n-1}10^{k}=10^{n}\frac{10^{n}-1}{9}, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}10^{k}=\frac{10^{n}-10}{9}.
Substituindo em a_n:
a_n =4\cdot10^{n}\frac{10^{n}-1}{9}+8\cdot\frac{10^{n}-10}{9}+9.
Multiplicando ambos os lados por 9 para simplificar a verificação:
9a_n =4\cdot10^{n}(10^{n}-1)+8(10^{n}-10)+81.
Expandindo:
9a_n =4\cdot10^{2n}-4\cdot10^{n}+8\cdot10^{n}-80+81 =4\cdot10^{2n}+4\cdot10^{n}+1.
Portanto
a_n=\frac{4\cdot10^{2n}+4\cdot10^{n}+1}{9}=s_n^2.
Isso mostra que o n-ésimo termo da sequência é exatamente s_n^2, com s_n inteiro.

Passo 4

Resumo e conclusão didática (como aplicar isso numa prova): a observação dos primeiros termos sugere que a raiz inteira tem padrão de algarismos. Expressa essa raiz em forma fechada usando soma geométrica e simplifique para obter uma fórmula simples e inteira, s_n=(2\cdot10^{n}+1)/3. Eleve ao quadrado e manipule algebricamente para recuperar a forma decimal do termo da sequência (usar soma de potências de 10 e multiplicar por 9 para comparar numeradores facilita a verificação). Assim fica claro e verificável que cada termo é quadrado de um inteiro bem definido.

Resposta

Todos os termos são quadrados perfeitos; o n-ésimo termo da sequência é
\left(\frac{2\cdot10^{\,n}+1}{3}\right)^{\!2}.

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