Questão 55 (Repunits). Resolva:
d) (PROFMAT) Se N=\underbrace{111 \ldots 1}_{n-1} \underbrace{222 \ldots 2}_{n} 5. Mostre que N pode ser escrito como sendo N=\frac{A \cdot 10^{2 n}+B \cdot 10^{n}+C}{9}.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro N formado por uma cadeia de n-1 algarismos 1 seguida de uma cadeia de n algarismos 2. Ou seja, em notação decimal a escrita de N é
A soma acima é uma soma geométrica; a fórmula da soma de uma progressão geométrica com razão 10 dá
R_m=\frac{10^{m}-1}{10-1}=\frac{10^m-1}{9}.
Explico rapidamente: a soma 1+10+\cdots+10^{m-1} tem m termos e razão 10, e a fórmula geral para a soma de uma PG finita fornece o resultado acima.
Passo 3
Agora represente cada bloco de N usando repunits. O bloco de n-1 uns é R_{n-1}. Como esse bloco fica deslocado n casas decimais à esquerda (porque depois dele vêm os n algarismos 2), seu contributo ao N é 10^{n}\cdot R_{n-1}.
O bloco de n algarismos 2 é simplesmente 2 vezes o repunit de comprimento n, ou seja 2R_n.
Portanto
N = 10^{n}\cdot R_{n-1} + 2\cdot R_{n}.
Passo 4
Substituo as fórmulas R_m=\dfrac{10^m-1}{9} na expressão acima:
N = 10^{n}\cdot\frac{10^{\,n-1}-1}{9} + 2\cdot\frac{10^{n}-1}{9}.
Como os dois termos têm denominador 9, somo os numeradores: