Questão 55 (Repunits). Resolva:
d) (PROFMAT) Se N=\underbrace{111 \ldots 1}_{n-1} \underbrace{222 \ldots 2}_{n} 5. Mostre que N pode ser escrito como sendo
N=\frac{A \cdot 10^{2 n}+B \cdot 10^{n}+C}{9}.

Passo 1

O enunciado dá um inteiro N formado por uma cadeia de n-1 algarismos 1 seguida de uma cadeia de n algarismos 2. Ou seja, em notação decimal a escrita de N é
N=\underbrace{111\ldots1}_{n-1}\underbrace{222\ldots2}_{n}.
A tarefa é mostrar que existe uma representação da forma
N=\frac{A\cdot10^{2n}+B\cdot10^{n}+C}{9}
com A,B,C inteiros (possivelmente dependendo de n). Vou transformar N em termos de repunits e usar somas geométricas para obter essa forma.

Passo 2

Uma ideia útil: um número formado por m algarismos 1 (chamado repunit de comprimento m) é
R_m = 111\ldots1 \quad(m\\ \text{uns}).
Esse número pode ser escrito como soma de potências de 10:
R_m = 10^{m-1}+10^{m-2}+\cdots+10+1=\sum_{k=0}^{m-1}10^k.
A soma acima é uma soma geométrica; a fórmula da soma de uma progressão geométrica com razão 10
R_m=\frac{10^{m}-1}{10-1}=\frac{10^m-1}{9}.
Explico rapidamente: a soma 1+10+\cdots+10^{m-1} tem m termos e razão 10, e a fórmula geral para a soma de uma PG finita fornece o resultado acima.

Passo 3

Agora represente cada bloco de N usando repunits. O bloco de n-1 uns é R_{n-1}. Como esse bloco fica deslocado n casas decimais à esquerda (porque depois dele vêm os n algarismos 2), seu contributo ao N é 10^{n}\cdot R_{n-1}.
O bloco de n algarismos 2 é simplesmente 2 vezes o repunit de comprimento n, ou seja 2R_n.
Portanto
N = 10^{n}\cdot R_{n-1} + 2\cdot R_{n}.

Passo 4

Substituo as fórmulas R_m=\dfrac{10^m-1}{9} na expressão acima:
N = 10^{n}\cdot\frac{10^{\,n-1}-1}{9} + 2\cdot\frac{10^{n}-1}{9}.
Como os dois termos têm denominador 9, somo os numeradores:
N=\frac{10^{n}\bigl(10^{\,n-1}-1\bigr)+2\bigl(10^{n}-1\bigr)}{9}.
Faço a multiplicação e simplifico termo a termo:
10^{n}\bigl(10^{\,n-1}-1\bigr)=10^{2n-1}-10^{n}, \qquad 2\bigl(10^{n}-1\bigr)=2\cdot10^{n}-2.
Somando,
10^{2n-1}-10^{n}+2\cdot10^{n}-2=10^{2n-1}+10^{n}-2.
Logo
N=\frac{10^{2n-1}+10^{n}-2}{9}.

Passo 5

Reescrevo o numerador de modo a evidenciar os termos em 10^{2n}, 10^{n} e o termo constante. Observe que
10^{2n-1}+10^{n}-2 = \bigl(10^{n-1}+1\bigr)\,10^{n}-2.
Isso equivale a tomar A=0, B=10^{n-1}+1 e C=-2 na forma pedida. Portanto
N=\frac{0\cdot10^{2n}+\bigl(10^{n-1}+1\bigr)\cdot10^{n}-2}{9},
que é da forma exigida.

Resposta

N=\dfrac{0\cdot10^{2n}+(10^{\,n-1}+1)\cdot10^{n}-2}{9}