Questão 55 (Repunits). Resolva:
a) Se A=\underbrace{111 \ldots 1}_{2 m} e B=\underbrace{444 \ldots 4}_{m} verifique que a soma A+B+1 é um quadrado perfeito para qualquer inteiro positivo m.
Passo 1
O enunciado dá duas repetições de dígitos em base decimal e pede para verificar que a soma A+B+1 é um quadrado perfeito para todo inteiro positivo m.
Dados fornecidos:
A=\underbrace{111\ldots1}_{2m} (ou seja, A tem 2m dígitos todos iguais a 1).
B=\underbrace{444\ldots4}_{m} (ou seja, B tem m dígitos todos iguais a 4).
O que se pede:
Mostrar que, para todo inteiro positivo m, a quantidade A+B+1 é um quadrado perfeito.
Passo 2
Vamos escrever A em forma algébrica usando a representação decimal e a soma de uma progressão geométrica. Um número formado por k uns consecutivos em base decimal (um “repunits”) vale
\underbrace{11\ldots1}_{k}=\frac{10^{k}-1}{9}.
Aplicando isso a A com k=2m obtemos
A=\frac{10^{2m}-1}{9}.
(Explicação rápida: cada posição decimal contribui como potências de 10, a soma 1+10+\cdots+10^{k-1} é uma PG geométrica com soma (10^{k}-1)/(10-1)=(10^{k}-1)/9.)
Passo 3
Agora escrevemos B. Um número com m dígitos todos iguais a 4 é 4 vezes o repunit de m uns, logo
Note que o lado direito é um quadrado perfeito em termos de 10^{m}:
10^{2m}+4\cdot10^{m}+4=(10^{m}+2)^{2}.
Portanto
A+B+1=\frac{(10^{m}+2)^{2}}{9}.
Passo 6
Para concluir que A+B+1 é o quadrado de um inteiro, precisamos verificar que \dfrac{10^{m}+2}{3} é um número inteiro. Observamos que 10\equiv1\pmod{3}, assim 10^{m}\equiv1^{m}\equiv1\pmod{3}. Então
10^{m}+2\equiv1+2\equiv0\pmod{3},
ou seja, 10^{m}+2 é divisível por 3. Logo \dfrac{10^{m}+2}{3} é um inteiro.
Passo 7
Juntando os passos anteriores temos
A+B+1=\left(\frac{10^{m}+2}{3}\right)^{2},
com \dfrac{10^{m}+2}{3}\in\mathbb{Z}. Portanto A+B+1 é de fato um quadrado perfeito para todo m\in\mathbb{Z}_{>0}.
Passo 8
Exemplos rápidos para ganhar confiança:
Para m=1: A=11, B=4, A+B+1=11+4+1=16=4^{2}. Pela fórmula, \dfrac{10^{1}+2}{3}=4.
Para m=2: A=1111, B=44, A+B+1=1111+44+1=1156=34^{2}. Pela fórmula, \dfrac{10^{2}+2}{3}=34.