Na engenharia elétrica, as Leis de Kirchhoff podem ser organizadas em sistemas matriciais para determinar correntes em diferentes malhas. Considere um circuito cuja relação entre as resistências ( \boldsymbol{R} ), as correntes (i) e as tensões (V) é dada por \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{i}=\boldsymbol{V}.
Dada a matriz de resistência \boldsymbol{R} e o vetor de tensões \boldsymbol{V} :
Tarefa: Determine o determinante da matriz \boldsymbol{R} para verificar se o sistema possui solução única e calcule o vetor das correntes i (em Ampères) utilizando a regra de Cramer ou inversão de matriz.
Passo 1
O enunciado dá a relação matricial \boldsymbol{R}\,\boldsymbol{i}=\boldsymbol{V} com:
Determinar o determinante de \boldsymbol{R} para verificar se existe solução única.
Calcular o vetor das correntes \boldsymbol{i} (em Ampères), usando a regra de Cramer ou a inversão de matriz.]
Passo 2
Entender o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz (linha 1 coluna 1 é a, linha 1 coluna 2 é b, etc.). O determinante indica se a matriz é invertível: se \det(A)\neq0 a matriz tem inversa única e o sistema linear A x = b tem solução única.]
Passo 3
Calcular o determinante de \boldsymbol{R}. Usando a fórmula anterior com a=10, b=-5, c=-5, d=15:
\det(\boldsymbol{R})=10\cdot15 - (-5)\cdot(-5).
Fazendo as contas:
10\cdot15=150,\qquad (-5)\cdot(-5)=25,
portanto
\det(\boldsymbol{R})=150-25=125.
Como \det(\boldsymbol{R})=125\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem solução única.
Passo 4
Escolha do método e fórmula da inversa para 2\times2. Para uma matriz