Questão 1: Análise de Circuitos Elétricos

Na engenharia elétrica, as Leis de Kirchhoff podem ser organizadas em sistemas matriciais para determinar correntes em diferentes malhas. Considere um circuito cuja relação entre as resistências ( \boldsymbol{R} ), as correntes (i) e as tensões (V) é dada por \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{i}=\boldsymbol{V}.
Dada a matriz de resistência \boldsymbol{R} e o vetor de tensões \boldsymbol{V} :
R=\left|\begin{array}{cc} 10 & -5 \\\\ -5 & 15 \end{array}\right| ; \quad V=\left|\begin{array}{c} 20 \\\\ 0 \end{array}\right|
Tarefa: Determine o determinante da matriz \boldsymbol{R} para verificar se o sistema possui solução única e calcule o vetor das correntes i (em Ampères) utilizando a regra de Cramer ou inversão de matriz.

Passo 1

O enunciado dá a relação matricial \boldsymbol{R}\,\boldsymbol{i}=\boldsymbol{V} com:
\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] -5 & 15\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{V}=\begin{pmatrix}20 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Determinar o determinante de \boldsymbol{R} para verificar se existe solução única.
  • Calcular o vetor das correntes \boldsymbol{i} (em Ampères), usando a regra de Cramer ou a inversão de matriz.]

Passo 2

Entender o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz (linha 1 coluna 1 é a, linha 1 coluna 2 é b, etc.). O determinante indica se a matriz é invertível: se \det(A)\neq0 a matriz tem inversa única e o sistema linear A x = b tem solução única.]

Passo 3

Calcular o determinante de \boldsymbol{R}. Usando a fórmula anterior com a=10, b=-5, c=-5, d=15:
\det(\boldsymbol{R})=10\cdot15 - (-5)\cdot(-5).
Fazendo as contas:
10\cdot15=150,\qquad (-5)\cdot(-5)=25,
portanto
\det(\boldsymbol{R})=150-25=125.
Como \det(\boldsymbol{R})=125\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem solução única.

Passo 4

Escolha do método e fórmula da inversa para 2\times2. Para uma matriz
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com \det(A)\neq0, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Esse método é muito rápido para 2\times2 e nos permite obter \boldsymbol{i}= \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{V}.]

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa a \boldsymbol{R}. Substituindo a=10, b=-5, c=-5, d=15 e \det(\boldsymbol{R})=125:
\boldsymbol{R}^{-1}=\frac{1}{125}\begin{pmatrix}15 & 5 \\[4pt] 5 & 10\end{pmatrix},
porque -b = -(-5)=5 e -c = -(-5)=5.]

Passo 6

Calcular \boldsymbol{i}=\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{V}. Multiplicação matriz-vetor (faça na prova como produto escalar das linhas pela coluna):
\boldsymbol{i}=\frac{1}{125}\begin{pmatrix}15 & 5 \\[4pt] 5 & 10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}20 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Primeira componente:
i_1=\frac{1}{125}\big(15\cdot20 + 5\cdot0\big)=\frac{1}{125}\cdot300=\frac{300}{125}=\frac{12}{5}=2,4\\ \mathrm{A}.
Segunda componente:
i_2=\frac{1}{125}\big(5\cdot20 + 10\cdot0\big)=\frac{1}{125}\cdot100=\frac{100}{125}=\frac{4}{5}=0,8\\ \mathrm{A}.]

Passo 7

Verificação rápida usando a regra de Cramer (opcional, para checar): com \det(\boldsymbol{R})=125,
D_1=\det\begin{pmatrix}20 & -5 \\[4pt] 0 & 15\end{pmatrix}=20\cdot15-(-5)\cdot0=300, \qquad i_1=\frac{D_1}{\det(\boldsymbol{R})}=\frac{300}{125}=\frac{12}{5}=2,4\\ \mathrm{A},
D_2=\det\begin{pmatrix}10 & 20 \\[4pt] -5 & 0\end{pmatrix}=10\cdot0-20\cdot(-5)=100, \qquad i_2=\frac{D_2}{\det(\boldsymbol{R})}=\frac{100}{125}=\frac{4}{5}=0,8\\ \mathrm{A}.
Os resultados coincidem com a inversão.]

Resposta

\det(\boldsymbol{R})=125
\displaystyle \boldsymbol{i}=\begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} \\[4pt] \tfrac{4}{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,4 \\[4pt] 0,8\end{pmatrix}\\ \mathrm{A}]

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