Questão 2: Para cada par de funções a seguir, determine f \circ g, g \circ f, e f \circ f, explicitando seus domínios:
a) f(x)=x-5 e g(x)=x^{2}-1

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede três composições e os domínios delas. As informações que temos são:
  • f(x)=x-5.
  • g(x)=x^{2}-1.
O que o enunciado pede:
  • Calcular f\circ g.
  • Calcular g\circ f.
  • Calcular f\circ f.
  • Para cada uma, explicitar o domínio.

Passo 2

Conceito e como determinar domínio de uma composição (explicação didática).
  • Definição: (f\circ g)(x) significa f(g(x)). Ou seja, primeiro aplica-se g em x e depois aplica-se f ao resultado.
  • Regra do domínio: o domínio de f\circ g é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de g e tal que g(x) pertence ao domínio de f.
  • Aqui cada função é um polinômio ( f é afim e g é quadrática). Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Logo:
    • Domínio de f é \mathbb{R}.
    • Domínio de g é \mathbb{R}.
  • Consequência prática: se g toma valores em \mathbb{R} e f está definida em todos os reais, então a composição está definida para todo x\in\mathbb{R}. Assim, provavelmente todas as composições aqui terão domínio \mathbb{R}. Vamos calcular explicitamente para confirmar.

Passo 3

Calcular f\circ g passo a passo.
  • Começo pela definição:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Substituo g(x) em f. Como f(t)=t-5 para uma variável genérica t, coloco t=g(x):
f(g(x))=g(x)-5.
  • Agora substituo g(x)=x^{2}-1:
f(g(x))=(x^{2}-1)-5.
  • Simplificando os termos constantes:
f(g(x))=x^{2}-6.
  • Sobre o domínio: como explicado, g está definido para todo x\in\mathbb{R} e g(x)\in\mathbb{R} pertence ao domínio de f, portanto o domínio de f\circ g é \mathbb{R}.

Passo 4

Calcular g\circ f passo a passo.
  • Definição:
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Substituo f(x) em g. Como g(t)=t^{2}-1, com t=f(x) temos:
g(f(x))=(f(x))^{2}-1.
  • Substituo f(x)=x-5:
g(f(x))=(x-5)^{2}-1.
  • Expando o quadrado para simplificar (aqui explico a expansão): (x-5)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 5+5^{2}=x^{2}-10x+25. Assim
g(f(x))=x^{2}-10x+25-1.
  • Simplificando os constantes:
g(f(x))=x^{2}-10x+24.
  • Sobre o domínio: novamente, f e g são polinômios definidos em todo \mathbb{R}, então o domínio de g\circ f é \mathbb{R}.

Passo 5

Calcular f\circ f passo a passo.
  • Definição:
(f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Substituo f(x) em f. Como f(t)=t-5, com t=f(x):
f(f(x))=f(x)-5.
  • Substituo f(x)=x-5:
f(f(x))=(x-5)-5.
  • Simplificando:
f(f(x))=x-10.
  • Sobre o domínio: sendo soma e subtração de polinômios, tudo está definido para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio de f\circ f é \mathbb{R}.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico (para ver que as fórmulas fazem sentido).
  • Tomando x=3:
    • (f\circ g)(3)=3^{2}-6=9-6=3.
    • (g\circ f)(3)=3^{2}-10\cdot 3+24=9-30+24=3.
    • (f\circ f)(3)=3-10=-7.
  • Esses cálculos batem com aplicar as funções na ordem indicada diretamente (verificação rápida e tranquila).

Resposta

f\circ g(x)=x^{2}-6,\\ \text{domínio}=\mathbb{R}í
g\circ f(x)=x^{2}-10x+24,\\ \text{domínio}=\mathbb{R}í
f\circ f(x)=x-10,\\ \text{domínio}=\mathbb{R}í

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