Questão 2: Para cada par de funções a seguir, determine
, e
, explicitando seus domínios:
a)
e
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede três composições e os domínios delas. As informações que temos são:
-
. -
.
O que o enunciado pede:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
. - Para cada uma, explicitar o domínio.
Passo 2
Conceito e como determinar domínio de uma composição (explicação didática).
- Definição:
significa . Ou seja, primeiro aplica-se em e depois aplica-se ao resultado. - Regra do domínio: o domínio de
é o conjunto de todos os que pertencem ao domínio de e tal que pertence ao domínio de . - Aqui cada função é um polinômio (
é afim e é quadrática). Polinômios estão definidos para todo . Logo: - Domínio de
é . - Domínio de
é .
- Domínio de
- Consequência prática: se
toma valores em e está definida em todos os reais, então a composição está definida para todo . Assim, provavelmente todas as composições aqui terão domínio . Vamos calcular explicitamente para confirmar.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Começo pela definição:
- Substituo
em . Como para uma variável genérica , coloco :
- Agora substituo
:
- Simplificando os termos constantes:
- Sobre o domínio: como explicado,
está definido para todo e pertence ao domínio de , portanto o domínio de é .
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Definição:
- Substituo
em . Como , com temos:
- Substituo
:
- Expando o quadrado para simplificar (aqui explico a expansão):
. Assim
- Simplificando os constantes:
- Sobre o domínio: novamente,
e são polinômios definidos em todo , então o domínio de é .
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Definição:
- Substituo
em . Como , com :
- Substituo
:
- Simplificando:
- Sobre o domínio: sendo soma e subtração de polinômios, tudo está definido para todo
. Assim o domínio de é .
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico (para ver que as fórmulas fazem sentido).
- Tomando
: -
. -
. -
.
-
- Esses cálculos batem com aplicar as funções na ordem indicada diretamente (verificação rápida e tranquila).