Questão 2: Para cada par de funções a seguir, determine f \circ g, g \circ f, e f \circ f, explicitando seus domínios:
b) f(x)=\sqrt{x} e g(x)=2 x-3

Passo 1

O enunciado pede que eu determine f\circ g, g\circ f e f\circ f, explicitando os domínios de cada composição. As informações dadas são:
  • f(x)=\sqrt{x}.
  • g(x)=2x-3.
Também anoto aqui as restrições óbvias que já vêm das definições:
  • O domínio natural de f é \mathrm{dom}(f)= [0,\infty), porque a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo.
  • O domínio natural de g é \mathrm{dom}(g)=(-\infty,\infty), pois uma função afim está definida para todo real.

Passo 2

Regra geral para composição e domínio (explicando passo a passo):
  • A composição (f\circ g)(x) significa primeiro aplicar g em x e depois aplicar f ao resultado; simbolicamente (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • O domínio de f\circ g é o conjunto dos x tais que:
    1. x\in\mathrm{dom}(g) (o valor g(x) existe), e
    2. g(x)\in\mathrm{dom}(f) (o valor resultado de g(x) é admissível para f).
  • Em termos matemáticos:
\mathrm{dom}(f\circ g)=\{x\in\mathrm{dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{dom}(f)\}.
Vou usar exatamente essa regra para cada composição.

Passo 3

Cálculo de f\circ g e seu domínio:
  • Primeiro escrevo a composição:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{\,g(x)\,}=\sqrt{\,2x-3\,}.
  • Agora as restrições: preciso de x\in\mathrm{dom}(g)=(-\infty,\infty) e de g(x)=2x-3\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty). Portanto imponho a desigualdade
2x-3 \ge 0.
  • Resolvo a desigualdade passo a passo:
2x-3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad 2x\ge 3 \quad\Rightarrow\quad x\ge \tfrac{3}{2}.
  • Como g é definida para todos os reais, a única restrição vem dessa desigualdade. Logo
\mathrm{dom}(f\circ g)=[\tfrac{3}{2},\infty).

Passo 4

Cálculo de g\circ f e seu domínio:
  • Escrevo a composição:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=2\bigl(f(x)\bigr)-3=2\sqrt{x}-3.
  • Para o domínio preciso de x\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty) (pois f é a função interior aqui) e que f(x)=\sqrt{x}\in\mathrm{dom}(g). Mas \mathrm{dom}(g)=(-\infty,\infty), ou seja, g aceita qualquer real, então a segunda condição é sempre satisfeita para qualquer x em que \sqrt{x} exista.
  • Portanto a única restrição é x\ge 0. Assim
\mathrm{dom}(g\circ f)=[0,\infty).

Passo 5

Cálculo de f\circ f e seu domínio (comentar didaticamente):
  • A composição f\circ f significa aplicar f duas vezes:
(f\circ f)(x)=f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x}}.
  • Podemos também escrever \sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4} (porque (x^{1/2})^{1/2}=x^{1/4}).
  • Para o domínio: é necessário que x\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty) (para que a \sqrt{x} exista) e que f(x)=\sqrt{x}\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty). Mas se x\ge 0 então \sqrt{x}\ge 0 automaticamente, logo a segunda condição não impõe nada novo.
  • Conclusão:
\mathrm{dom}(f\circ f)=[0,\infty).

Passo 6

Resumo intuitivo rápido (para fixar): compor com uma raiz quadrada sempre exige que o argumento que chega à raiz seja não negativo. Compor com uma função linear sem restrições (como g) normalmente não cria novas restrições além das da parte interior da composição.

Resposta

f\circ g(x)=\sqrt{2x-3},\\ \mathrm{dom}(f\circ g)=[\tfrac{3}{2},\infty)\n
g\circ f(x)=2\sqrt{x}-3,\\ \mathrm{dom}(g\circ f)=[0,\infty)\n
f\circ f(x)=\sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4},\\ \mathrm{dom}(f\circ f)=[0,\infty)

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