Questão 2: Para cada par de funções a seguir, determine
, e
, explicitando seus domínios:
b)
e
Passo 1
O enunciado pede que eu determine
,
e
, explicitando os domínios de cada composição. As informações dadas são:
-
. -
.
Também anoto aqui as restrições óbvias que já vêm das definições:
- O domínio natural de
é , porque a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. - O domínio natural de
é , pois uma função afim está definida para todo real.
Passo 2
Regra geral para composição e domínio (explicando passo a passo):
- A composição
significa primeiro aplicar em e depois aplicar ao resultado; simbolicamente . - O domínio de
é o conjunto dos tais que: -
(o valor existe), e -
(o valor resultado de é admissível para ).
-
- Em termos matemáticos:
Vou usar exatamente essa regra para cada composição.
Passo 3
Cálculo de
e seu domínio:
- Primeiro escrevo a composição:
- Agora as restrições: preciso de
e de . Portanto imponho a desigualdade
- Resolvo a desigualdade passo a passo:
- Como
é definida para todos os reais, a única restrição vem dessa desigualdade. Logo
Passo 4
Cálculo de
e seu domínio:
- Escrevo a composição:
- Para o domínio preciso de
(pois é a função interior aqui) e que . Mas , ou seja, aceita qualquer real, então a segunda condição é sempre satisfeita para qualquer em que exista. - Portanto a única restrição é
. Assim
Passo 5
Cálculo de
e seu domínio (comentar didaticamente):
- A composição
significa aplicar duas vezes:
- Podemos também escrever
(porque ). - Para o domínio: é necessário que
(para que a exista) e que . Mas se então automaticamente, logo a segunda condição não impõe nada novo. - Conclusão:
Passo 6
Resumo intuitivo rápido (para fixar): compor com uma raiz quadrada sempre exige que o argumento que chega à raiz seja não negativo. Compor com uma função linear sem restrições (como
) normalmente não cria novas restrições além das da parte interior da composição.