Questão 6:

Calcule
I=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y
onde
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2} \leq 2 x\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde a região D é
D=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\geq 1,\; x^{2}+y^{2}\leq 2x\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é determinada por duas desigualdades envolvendo x^{2}+y^{2}: uma de exterior a um círculo de raio 1 ( x^{2}+y^{2}\geq 1) e outra interior a outro círculo ( x^{2}+y^{2}\leq 2x).
  • Não há outras restrições além dessas.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Quando a integranda e as descrições da região envolvem x^{2}+y^{2}, costuma ser muito conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar o que são coordenadas polares e por que elas ajudam.
  • Em coordenadas polares define-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta sendo o ângulo polar. Nesse sistema, a distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica simplesmente r — muito mais simples.
  • Ao trocar de (x,y) para (r,\theta), a área elementar dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Essa fatoração r é chamada de jacobiano da transformação polar. Intuitivamente, um pequeno retângulo em coordenadas polares tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta porque o arco tem comprimento r\Delta\theta.
  • Assim, a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r e junto com o jacobiano a integranda total passa a ser r\cdot r = r^{2}. Isso vai simplificar bastante a integral.

Passo 3

Descrição da região D em coordenadas polares (tradução das desigualdades):
  • A primeira desigualdade x^{2}+y^{2}\ge 1 vira
r^{2}\ge 1 \quad\Rightarrow\quad r\ge 1,
pois r\ge0.
  • A segunda desigualdade x^{2}+y^{2}\le 2x vira
r^{2}\le 2r\cos\theta.
Como r\ge0, podemos dividir por r (desde que consideremos pontos com r=0, aqui irrelevante pois r\ge1) e obter
r \le 2\cos\theta.
  • Para que exista r satisfazendo 1\le r\le 2\cos\theta é necessário que 2\cos\theta\ge 1, ou seja
\cos\theta \ge \tfrac{1}{2}.
  • Resolver \cos\theta \ge \tfrac{1}{2} dá o intervalo de ângulos
-\tfrac{\pi}{3}\le \theta \le \tfrac{\pi}{3}.
Portanto, em coordenadas polares a região D é
\{(r,\theta)\mid -\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{3},\; 1\le r\le 2\cos\theta\}.

Passo 4

Montagem da integral em coordenadas polares:
  • Substituindo \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dx\,dy = r\,dr\,d\theta, a integral fica
I=\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\int_{r=1}^{2\cos\theta} r\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\int_{1}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral interna em r:
  • Calcular \displaystyle\int_{1}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr. A primitiva de r^{2} é \tfrac{r^{3}}{3}. Então
\int_{1}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{r=1}^{r=2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}\bigl(8\cos^{3}\theta - 1\bigr).
  • Assim a integral reduz-se a
I=\frac{1}{3}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(8\cos^{3}\theta - 1\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Uso de simetria e cálculo das integrais em \theta:
  • A função \cos^{3}\theta é função par (ou seja, \cos^{3}(-\theta)=\cos^{3}\theta), e a constante 1 também é par. Logo o integrando é par, e podemos dobrar a integral de 0 a \pi/3:
I=\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi/3}\bigl(8\cos^{3}\theta - 1\bigr)\,d\theta.
  • Vamos calcular separadamente \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta. Use a identidade prática para integrar potências ímpares de cosseno:
\cos^{3}\theta = \cos\theta\,(1-\sin^{2}\theta).
Fazendo a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta, obtemos
\int \cos^{3}\theta\,d\theta = \int (1-u^{2})\,du = u - \frac{u^{3}}{3} + C = \sin\theta - \frac{\sin^{3}\theta}{3} + C.
  • Avaliando de 0 a \pi/3:
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta = \left(\sin\theta - \frac{\sin^{3}\theta}{3}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/3} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) - \frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)}{3}.
  • Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, tem-se
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) - \frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}.
  • E também \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}1\,d\theta = \frac{\pi}{3}.

Passo 7

Conclusão e simplificação final:
  • Voltar para a expressão de I:
I=\frac{2}{3}\left[8\cdot\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta \;-\; \int_{0}^{\pi/3}1\,d\theta\right].
  • Substituindo os valores obtidos:
I=\frac{2}{3}\left[8\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} \;-\; \frac{\pi}{3}\right] =\frac{2}{3}\left[3\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\right].
  • Simplificando:
I=2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{9}.

Resposta

\displaystyle 2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{9}

Exercícios relacionados