A região D é determinada por duas desigualdades envolvendo x^{2}+y^{2}: uma de exterior a um círculo de raio 1 (x^{2}+y^{2}\geq 1) e outra interior a outro círculo (x^{2}+y^{2}\leq 2x).
Não há outras restrições além dessas.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
Quando a integranda e as descrições da região envolvem x^{2}+y^{2}, costuma ser muito conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar o que são coordenadas polares e por que elas ajudam.
Em coordenadas polares define-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta sendo o ângulo polar. Nesse sistema, a distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica simplesmente r — muito mais simples.
Ao trocar de (x,y) para (r,\theta), a área elementar dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Essa fatoração r é chamada de jacobiano da transformação polar. Intuitivamente, um pequeno retângulo em coordenadas polares tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta porque o arco tem comprimento r\Delta\theta.
Assim, a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r e junto com o jacobiano a integranda total passa a ser r\cdot r = r^{2}. Isso vai simplificar bastante a integral.
Passo 3
Descrição da região D em coordenadas polares (tradução das desigualdades):
A primeira desigualdade x^{2}+y^{2}\ge 1 vira
r^{2}\ge 1 \quad\Rightarrow\quad r\ge 1,
pois r\ge0.
A segunda desigualdade x^{2}+y^{2}\le 2x vira
r^{2}\le 2r\cos\theta.
Como r\ge0, podemos dividir por r (desde que consideremos pontos com r=0, aqui irrelevante pois r\ge1) e obter
r \le 2\cos\theta.
Para que exista r satisfazendo 1\le r\le 2\cos\theta é necessário que 2\cos\theta\ge 1, ou seja
\cos\theta \ge \tfrac{1}{2}.
Resolver \cos\theta \ge \tfrac{1}{2} dá o intervalo de ângulos
Uso de simetria e cálculo das integrais em \theta:
A função \cos^{3}\theta é função par (ou seja, \cos^{3}(-\theta)=\cos^{3}\theta), e a constante 1 também é par. Logo o integrando é par, e podemos dobrar a integral de 0 a \pi/3:
Vamos calcular separadamente \displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta. Use a identidade prática para integrar potências ímpares de cosseno:
\cos^{3}\theta = \cos\theta\,(1-\sin^{2}\theta).
Fazendo a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta, obtemos
\int \cos^{3}\theta\,d\theta = \int (1-u^{2})\,du = u - \frac{u^{3}}{3} + C = \sin\theta - \frac{\sin^{3}\theta}{3} + C.