Informações dadas sobre a região D (as quatro retas que delimitam D):
y=-x+\pi,
y=-x+3\pi,
y=x-\pi,
y=x+\pi.
Observações importantes que vou usar depois (apenas listando os dados; a resolução começa no Passo 2):
A função integrando envolve x-y e x+y.
As quatro retas têm formas que sugerem converter para variáveis que combinem x\pm y.
Passo 2
Motivação da mudança de variáveis (explicação didática):
Quando o integrando depende apenas de combinações lineares x-y e x+y, é muito conveniente trocar de variáveis para:
u = x-y,\qquad v = x+y.
Essa troca costuma simplificar o integrando e também pode transformar a região D em algo mais simples (por exemplo, um retângulo).
Definição explícita da transformação e sua inversa:
u = x-y,\qquad v = x+y.
Resolver para x,y em função de u,v:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{v-u}{2}.
Passo 3
Cálculo do Jacobiano (explicando passo a passo o porquê e como calcular):
Quando fazemos (x,y)\mapsto(u,v) precisamos substituir dx\,dy por |J|\,du\,dv, onde J é o determinante da matriz jacobiana de (x,y) em relação a (u,v).