Questão 4:

Calcule
I=\iint_{D}(x-y)^{2} \sin ^{2}(x+y) d x d y
onde D é a região plana delimitada pelas retas
y=-x+\pi, \quad y=-x+3 \pi, \quad y=x-\pi, \quad y=x+\pi .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a integral dupla
I=\iint_{D}(x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)\,dx\,dy.
Informações dadas sobre a região D (as quatro retas que delimitam D):
  • y=-x+\pi,
  • y=-x+3\pi,
  • y=x-\pi,
  • y=x+\pi.
Observações importantes que vou usar depois (apenas listando os dados; a resolução começa no Passo 2):
  • A função integrando envolve x-y e x+y.
  • As quatro retas têm formas que sugerem converter para variáveis que combinem x\pm y.

Passo 2

Motivação da mudança de variáveis (explicação didática):
  • Quando o integrando depende apenas de combinações lineares x-y e x+y, é muito conveniente trocar de variáveis para:
u = x-y,\qquad v = x+y.
  • Essa troca costuma simplificar o integrando e também pode transformar a região D em algo mais simples (por exemplo, um retângulo).
Definição explícita da transformação e sua inversa:
u = x-y,\qquad v = x+y.
Resolver para x,y em função de u,v:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{v-u}{2}.

Passo 3

Cálculo do Jacobiano (explicando passo a passo o porquê e como calcular):
  • Quando fazemos (x,y)\mapsto(u,v) precisamos substituir dx\,dy por |J|\,du\,dv, onde J é o determinante da matriz jacobiana de (x,y) em relação a (u,v).
  • A matriz dos parciais é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[6pt] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • O determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
  • Portanto
dx\,dy=\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv=\frac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 4

Transformação do integrando e do elemento de área:
  • O integrando (x-y)^{2}\sin^{2}(x+y) em (u,v) fica
(x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)=u^{2}\sin^{2}(v).
  • Juntando com dx\,dy=\tfrac{1}{2}du\,dv, o integrando completo em (u,v) é
u^{2}\sin^{2}(v)\cdot\frac{1}{2}.

Passo 5

Mapeamento da região D nas novas coordenadas (explicação detalhada usando cada reta):
  • Para retas da forma y=-x+c: calcular v=x+y. Se y=-x+c então v=x+(-x+c)=c. Assim:
    • y=-x+\pi corresponde a v=\pi.
    • y=-x+3\pi corresponde a v=3\pi.
  • Para retas da forma y=x+c: calcular u=x-y. Se y=x+c então u=x-(x+c)=-c. Mas é mais seguro substituir diretamente:
    • y=x-\pi \Rightarrow u=x-y=x-(x-\pi)=\pi.
    • y=x+\pi \Rightarrow u=x-y=x-(x+\pi)=-\pi.
  • Portanto, em (u,v) a região D vira o retângulo:
-\,\pi \le u \le \pi,\qquad \pi \le v \le 3\pi.
(ou seja, D'=[-\,\pi,\pi]\times[\pi,3\pi].)

Passo 6

Escrever a integral na nova ordem e observar separabilidade:
  • A integral transforma-se em
I=\iint_{D} (x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)\,dx\,dy =\int_{v=\pi}^{3\pi}\int_{u=-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}u^{2}\sin^{2}(v)\,du\,dv.
  • Note que o integrando é produto de função de u por função de v, então a integral é separável:
I=\frac{1}{2}\left(\int_{u=-\pi}^{\pi}u^{2}\,du\right)\left(\int_{v=\pi}^{3\pi}\sin^{2}(v)\,dv\right).

Passo 7

Cálculo da integral em u:
  • Calcular \displaystyle\int_{-\,\pi}^{\pi}u^{2}\,du. Como u^{2} é par, usa-se
\int_{-\,\pi}^{\pi}u^{2}\,du=2\int_{0}^{\pi}u^{2}\,du =2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} =2\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{2\pi^{3}}{3}.

Passo 8

Cálculo da integral em v (usar identidade trigonométrica e avaliar sem calculadora):
  • Usar a identidade
\sin^{2}(v)=\frac{1-\cos(2v)}{2}.
  • Então
\int_{\pi}^{3\pi}\sin^{2}(v)\,dv=\int_{\pi}^{3\pi}\frac{1-\cos(2v)}{2}\,dv =\frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi}1\,dv-\frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi}\cos(2v)\,dv.
  • Calcular cada parte:
    • \displaystyle\frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi}1\,dv=\frac{1}{2}\big[v\big]_{\pi}^{3\pi}=\frac{1}{2}(3\pi-\pi)=\pi.
    • \displaystyle\int_{\pi}^{3\pi}\cos(2v)\,dv=\left[\frac{\sin(2v)}{2}\right]_{\pi}^{3\pi}=\frac{\sin(6\pi)-\sin(2\pi)}{2}=0 porque \sin(2k\pi)=0.
  • Portanto
\int_{\pi}^{3\pi}\sin^{2}(v)\,dv=\pi.

Passo 9

Juntar os resultados e simplificar (cálculo final):
  • Usando os resultados dos Passos 7 e 8 na expressão do Passo 6:
I=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi^{3}}{3}\cdot\pi.
  • Simplificando \frac{1}{2}\cdot 2=1 e multiplicando os \pi:
I=\frac{\pi^{3}}{3}\cdot\pi=\frac{\pi^{4}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{4}}{3}

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