A região D está no primeiro quadrante, logo x\ge0 e y\ge0.
Duas curvas são hipérboles do tipo x^{2}-y^{2}= constante (valores 1 e 4).
Duas curvas são elipses escritas em formas que sugerem combinações de x^{2} e y^{2}:
\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,
\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
O enunciado pede apenas o valor numérico da integral sobre essa região D.
Passo 2
Escolha do método e mudança de variáveis (por que isso ajuda).
A integranda tem y^{2}-x^{2} no denominador; as curvas que limitam D incluem x^{2}-y^{2}= constantes. Isso sugere escolher uma variável que seja u=x^{2}-y^{2} para simplificar o denominador.
As outras duas curvas podem ser escritas como constantes de uma combinação linear de x^{2} e y^{2}. Observando:
\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,
\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
Se definirmos v=\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}, essas duas curvas correspondem a v=1 e v=4 (veja que multiplicando a segunda por 4 obtém-se x^{2}/4+y^{2}=4). Portanto a escolha
u=x^{2}-y^{2},\qquad v=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}
transforma as curvas que limitam D em retas u=1,\\ u=4,\\ v=1,\\ v=4, i.e. um retângulo simples no plano (u,v). Isso facilita muito a integral.
Passo 3
Expressar x^{2}\) e \(y^{2}\) em função de \(u\) e \(v\) (resolver o sistema linear).
Definindo \(A=x^{2}\) e \(B=y^{2}\), o sistema é
\[\begin{cases} u = A - B,\\[4pt] v = \dfrac{1}{4}A + B. \end{cases}
Somando as duas equações com pesos convenientes: u+v = A - B + \dfrac{1}{4}A + B = \dfrac{5}{4}A\]. Logo
\[A = x^{2} = \frac{4}{5}(u+v).\]
Substituindo em \(B=A-u dá
B = y^{2} = A - u = \frac{4}{5}(u+v)-u = \frac{1}{5}(-u+4v).
Como estamos no primeiro quadrante tomamos x=\sqrt{\dfrac{4}{5}(u+v)} e y=\sqrt{\dfrac{1}{5}(-u+4v)}, mas para o cálculo do Jacobiano só precisaremos de x e y em produto.]
Passo 4
Calcular o Jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} e relacionar \mathrm{d}A com \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Calcule as derivadas:
Observe que xy cancela totalmente — por isso a boa escolha das variáveis: a expressão fica muito simples e independente de x,y.
Passo 6
Determinar os limites na variável (u,v) e montar a integral.
Das curvas limites:
x^{2}-y^{2}=1 e x^{2}-y^{2}=4 correspondem a u=1 e u=4.
\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 e \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 correspondem a v=1 e v=4 (ver passo 2).
Como estamos no primeiro quadrante a região D vira o retângulo
Podemos também escrever \ln 4=2\ln 2, ficando alternativa
-\frac{3}{5}\ln 4 = -\frac{6}{5}\ln 2.
Passo 8
Comentário final e checagem rápida.
O sinal negativo é esperado porque y^{2}-x^{2}<0 na porção do primeiro quadrante entre as hipérboles x^{2}-y^{2}=1 e 4 (nessa região x^{2}>y^{2}), então a integranda original é negativa.
A mudança u=x^{2}-y^{2},\,v=\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2} foi escolhida porque transformou a região em um retângulo e cancelou fatores na integranda, simplificando totalmente o cálculo.