Questão 5:
Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a ser integrada depende de
, de e de . - A região
é o disco de raio centrado na origem, restrito à metade em que (ou seja, acima da reta considerando a orientação usual). - Não há imagem fornecida; todos os dados necessários estão no enunciado.
Passo 2
Vamos fazer uma troca de variáveis natural para aproveitar as combinações
e
. Definimos as novas variáveis
Primeiro explico por que isso é útil e como fazer corretamente:
- A soma e a diferença aparecem diretamente no integrando, então a transformação linear
tende a simplificar a expressão. - Precisamos calcular o Jacobiano (o fator de escala da mudança de variáveis). Invertendo as fórmulas:
A matriz Jacobiana
é
O determinante é
Portanto o fator absoluto do Jacobiano é
. Isso significa que
.]
Passo 3
Agora reescrevemos o integrando em
. Observe as identidades:
e também
Logo
Substituindo no integrando e lembrando do Jacobiano
, obtemos
Passo 4
Transformamos a região
em termos de
.
- A condição
vira , isto é
- A condição
é simplesmente .
Portanto a região em é o semicírculo fechado de raio com :
Como a nova integranda só depende de
e de
, é natural passar a coordenadas polares em
. Definimos
com
e
tal que
corresponde a
. O raio máximo é
. O Jacobiano da polar é
.
Substituindo
e
na expressão obtida no Passo 3:
Assim a integral fica
Passo 5
Agora calculamos a integral. A integranda separa em função de
vezes função de
, então podemos separar:
Calculo das duas integrais separadas:
- Para
:
- Para
: por questão de completude (mesmo que o fator em já zere tudo), a integral em é
Fazendo a substituição
(ou observando que a derivada de
é
), obtemos
mas esse valor será multiplicado por zero devido ao fator
.
Portanto o produto é zero e a integral
vale zero.