Questão 5:

Calcule
I=\iint_{D} \frac{(x+y) e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}} d x d y
onde
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x-y \geq 0\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\iint_{D} \frac{(x+y)\,e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}\,dx\,dy,
onde a região D é
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; x-y\ge 0\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a ser integrada depende de x+y, de x-y e de x^{2}+y^{2}.
  • A região D é o disco de raio 1 centrado na origem, restrito à metade em que x-y\ge0 (ou seja, acima da reta x=y considerando a orientação usual).
  • Não há imagem fornecida; todos os dados necessários estão no enunciado.

Passo 2

Vamos fazer uma troca de variáveis natural para aproveitar as combinações x+y e x-y. Definimos as novas variáveis
u=x+y,\qquad v=x-y.
Primeiro explico por que isso é útil e como fazer corretamente:
  • A soma e a diferença aparecem diretamente no integrando, então a transformação linear (x,y)\mapsto(u,v) tende a simplificar a expressão.
  • Precisamos calcular o Jacobiano (o fator de escala da mudança de variáveis). Invertendo as fórmulas:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
A matriz Jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é
\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
Portanto o fator absoluto do Jacobiano é \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{2}. Isso significa que dx\,dy=\dfrac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 3

Agora reescrevemos o integrando em u,v. Observe as identidades:
(x+y) = u,\qquad (x-y)=v,
(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=u^{2}+v^{2},
e também
x^{2}+y^{2}=\frac{(u+v)^{2}+(u-v)^{2}}{4}=\frac{2u^{2}+2v^{2}}{4}=\frac{u^{2}+v^{2}}{2}.
Logo
\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}=\sqrt{2\,(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Substituindo no integrando e lembrando do Jacobiano \tfrac{1}{2}, obtemos
\frac{(x+y)\,e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}\,dx\,dy = \frac{u\,e^{u^{2}+v^{2}}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv.

Passo 4

Transformamos a região D em termos de u,v.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 1 vira \dfrac{u^{2}+v^{2}}{2}\le 1, isto é
u^{2}+v^{2}\le 2.
  • A condição x-y\ge0 é simplesmente v\ge 0.
    Portanto a região em (u,v) é o semicírculo fechado de raio \sqrt{2} com v\ge0:
D_{uv}=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 2,\; v\ge 0\}.
Como a nova integranda só depende de u^{2}+v^{2} e de u, é natural passar a coordenadas polares em (u,v). Definimos
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta tal que v\ge 0 corresponde a \theta\in[0,\pi]. O raio máximo é r\le\sqrt{2}. O Jacobiano da polar é du\,dv=r\,dr\,d\theta.
Substituindo u=r\cos\theta e u^{2}+v^{2}=r^{2} na expressão obtida no Passo 3:
\frac{u\,e^{u^{2}+v^{2}}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\cdot\frac{r\cos\theta\,e^{r^{2}}}{r}\cdot (r\,dr\,d\theta) = \frac{1}{2}\,r\cos\theta\,e^{r^{2}}\,dr\,d\theta.
Assim a integral fica
I=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{2}\,r\cos\theta\,e^{r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora calculamos a integral. A integranda separa em função de r vezes função de \theta, então podemos separar:
I=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt{2}} r\,e^{r^{2}}\,dr\right).
Calculo das duas integrais separadas:
  • Para \theta:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=\sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=\sin\pi-\sin 0=0-0=0.
  • Para r: por questão de completude (mesmo que o fator em \theta já zere tudo), a integral em r é
\int_{0}^{\sqrt{2}} r\,e^{r^{2}}\,dr.
Fazendo a substituição s=r^{2} (ou observando que a derivada de r^{2} é 2r), obtemos
\int_{0}^{\sqrt{2}} r\,e^{r^{2}}\,dr=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} e^{s}\,ds=\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr),
mas esse valor será multiplicado por zero devido ao fator \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=0.
Portanto o produto é zero e a integral I vale zero.

Resposta

\,0\,

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