Questão 5. Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o valor do limite
Informações dadas:
- A função é
. - A variável
tende a .
A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quandose aproxima de ?
Passo 2
Estratégia inicial (sem cálculos difíceis): fazer a substituição
Quando
temos também
. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Como
temos
. Substituindo:
Portanto
Agora o problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Vou provar o fato fundamental
usando uma prova geométrica clássica (teorema do sanduíche / squeeze), que é bem didática.
Considere
em
e o círculo trigonométrico de raio
. Comparando áreas obtemos as desigualdades geométricas padrão:
- A área do triângulo inscrito menor é
. - A área do setor correspondente é
(pois raio e ângulo ). - A área do triângulo externo (que contém o setor) é
.
Das áreas vem a cadeia de desigualdades
Multiplicando por
e dividindo por
(positivo para
) obtemos
A forma mais direta e conhecida dessa desigualdade é
Agora, passando ao limite quando
, como
, pela regra do sanduíche segue
Para
usa-se que
e que a função
é par ao redor de zero, concluindo que o limite por ambos os lados é
. Logo
Passo 4
Voltando ao que obtivemos no Passo 2:
Usando o resultado do Passo 3, substitui-se o limite por
:
Passo 5
Comentário amigo e rápido: outra forma curta de chegar ao mesmo resultado, se já souber usar l’Hôpital, é notar forma indeterminada
e derivar numerador e denominador:
As duas formas são equivalentes; a prova geométrica do Passo 3 mostra por que
sem derivadas.