Questão 5. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 10 x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 10 x}{x}.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{\operatorname{sen}10x}{x}.
  • A variável x tende a 0.
    A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 0?

Passo 2

Estratégia inicial (sem cálculos difíceis): fazer a substituição
u = 10x.
Quando x \to 0 temos também u \to 0. Reescrevendo a expressão em termos de u:
\frac{\operatorname{sen}10x}{x}=\frac{\operatorname{sen}u}{x}.
Como u=10x temos x=\dfrac{u}{10}. Substituindo:
\frac{\operatorname{sen}10x}{x}=\frac{\operatorname{sen}u}{u/10}=10\cdot\frac{\operatorname{sen}u}{u}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}10x}{x}=10\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}.
Agora o problema reduz-se a calcular \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}.

Passo 3

Vou provar o fato fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1,
usando uma prova geométrica clássica (teorema do sanduíche / squeeze), que é bem didática.
Considere u em (0,\tfrac{\pi}{2}) e o círculo trigonométrico de raio 1. Comparando áreas obtemos as desigualdades geométricas padrão:
  • A área do triângulo inscrito menor é \dfrac{1}{2}\cos u\cdot\sin u.
  • A área do setor correspondente é \dfrac{1}{2}u (pois raio 1 e ângulo u).
  • A área do triângulo externo (que contém o setor) é \dfrac{1}{2}\tan u.
Das áreas vem a cadeia de desigualdades
\frac{1}{2}\cos u\cdot\sin u \;<\; \frac{1}{2}u \;<\; \frac{1}{2}\tan u.
Multiplicando por 2 e dividindo por \sin u (positivo para 0<u<\tfrac{\pi}{2}) obtemos
\cos u \;<\; \frac{\sin u}{u} \;<\; \frac{1}{\cos u}\cdot\cos^2 u=\;1.
A forma mais direta e conhecida dessa desigualdade é
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1 \qquad\text{para }0<u<\tfrac{\pi}{2}.
Agora, passando ao limite quando u\to 0^+, como \cos u \to 1, pela regra do sanduíche segue
\lim_{u\to 0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u\to 0^- usa-se que \sin(-u)=-\sin u e que a função \sin u / u é par ao redor de zero, concluindo que o limite por ambos os lados é 1. Logo
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 4

Voltando ao que obtivemos no Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}10x}{x}=10\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}.
Usando o resultado do Passo 3, substitui-se o limite por 1:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}10x}{x}=10\cdot 1 = 10.

Passo 5

Comentário amigo e rápido: outra forma curta de chegar ao mesmo resultado, se já souber usar l’Hôpital, é notar forma indeterminada \frac{0}{0} e derivar numerador e denominador:
\lim_{x\to0}\frac{\sin(10x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{10\cos(10x)}{1}=10\cos 0=10.
As duas formas são equivalentes; a prova geométrica do Passo 3 mostra por que \sin u/u\to1 sem derivadas.

Resposta

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