Questão 5. Calcule:
a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 10 x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}10x}{x}.
Informações dadas: a função que aparece é a função seno aplicada a 10x e precisamos o limite quando x tende a 0. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Lembrete essencial que vamos usar: a identidade limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1.
Vou explicar por que isso vale. Para t pequeno e positivo ( 0<t<\tfrac{\pi}{2} ) vale a desigualdade geométrica clássica
\operatorname{sen}t < t < \tan t.
Dividindo essa desigualdade por t (positivo) e reorganizando, obtemos
\frac{\operatorname{sen}t}{t} < 1 < \frac{\tan t}{t}.
Escrevendo \tan t=\dfrac{\operatorname{sen}t}{\cos t} e isolando \dfrac{\operatorname{sen}t}{t}, chega-se a
\cos t < \frac{\operatorname{sen}t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1.
Para t negativo a mesma conclusão vale porque \dfrac{\operatorname{sen}t}{t} é função par (ou seja, o limite lateral esquerdo coincide), então o limite bilateral é 1.

Passo 3

Agora use uma substituição para transformar o nosso limite no limite fundamental. Seja \,u=10x. Quando x\to 0 tem-se u\to 0. Reescrevendo a expressão em função de u:
\frac{\operatorname{sen}10x}{x}=\frac{\operatorname{sen}u}{x}.
Como x=\dfrac{u}{10}, isso fica
\frac{\operatorname{sen}u}{x}=\frac{\operatorname{sen}u}{u/10}=10\cdot\frac{\operatorname{sen}u}{u}.

Passo 4

Aplicando o limite em u\to 0 e usando que \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}=1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}10x}{x} = \lim_{u\to 0}10\cdot\frac{\operatorname{sen}u}{u} = 10\cdot 1 = 10.

Resposta

10

Exercícios relacionados