Questão 5. Calcule:
a)
.
a)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a função que aparece é a função seno aplicada a
e precisamos o limite quando
tende a
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Lembrete essencial que vamos usar: a identidade limite fundamental
Vou explicar por que isso vale. Para
pequeno e positivo (
) vale a desigualdade geométrica clássica
Dividindo essa desigualdade por
(positivo) e reorganizando, obtemos
Escrevendo
e isolando
, chega-se a
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
Para
negativo a mesma conclusão vale porque
é função par (ou seja, o limite lateral esquerdo coincide), então o limite bilateral é
.
Passo 3
Agora use uma substituição para transformar o nosso limite no limite fundamental. Seja
. Quando
tem-se
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Como
, isso fica
Passo 4
Aplicando o limite em
e usando que
, obtemos