QUESTÃO: Calcule limites de funções.
(iv) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\text {senx }}-1}{\operatorname{tg} x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da função
\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{tg} x}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável tende para 0: x\to0.
  • A expressão é uma razão entre e^{\operatorname{sen} x}-1 (numerador) e \operatorname{tg} x (denominador).
  • Para x próximo de 0 ambos numerador e denominador tendem a 0, então temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Primeira ideia útil: transformar a razão para separar fatores que conhecemos bem. Observe que, para x onde \operatorname{sen} x\neq0,
\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{tg} x} = \frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}.
Essa identidade é apenas uma multiplicação por \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x}=1. Para o estudo do limite isso é permitido porque estamos interessados no comportamento quando x\to0, não no valor exatamente em x=0.

Passo 3

Agora vamos analisar os dois fatores separadamente:
\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x} \qquad\text{e}\qquad \frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}.
A razão original será o produto dos limites (se ambos existirem).

Passo 4

Estudo do primeiro fator \dfrac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x}.
Faça a substituição conveniente u=\operatorname{sen} x. Quando x\to0 tem-se u=\operatorname{sen} x\to0. Então
\lim_{x\to0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x} = \lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}.
Conhecimento básico sobre a função exponencial: para u pequeno pode-se usar a expansão em série ou o fato de que a derivada de e^{u} em u=0 é 1; ambos dão
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\text{termos de ordem superior},
portanto
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2}+\cdots \xrightarrow[u\to0]{} 1.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x}=1.
(Comentário didático: essa é uma das limites padrão — \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1 — que aparece muito em provas. Pode-se justificá-lo por série de Taylor ou pela definição da derivada.)

Passo 5

Estudo do segundo fator \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}.
Lembrando que \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} sempre que \cos x\neq0, temos
\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\operatorname{sen} x}{\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}} = \cos x,
para x onde \operatorname{sen} x\neq0. Assim, o segundo fator é exatamente \cos x (para x próximos de 0 isso vale normalmente), e então
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}=\lim_{x\to0}\cos x=\cos 0=1.
(Comentário didático: aqui não foi preciso aproximar \tan x por série; a identidade trigonométrica simplifica exatamente.)

Passo 6

Como os dois limites existem e valem 1, o limite do produto é o produto dos limites. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{tg} x} = \left(\lim_{x\to0}\frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{\operatorname{sen} x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}\right) = 1\cdot 1 = 1.
Breve comentário sobre método: escolhi fatorar em \dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}{\tan x} porque usa limites padrão e identidades trigonométricas, é rápido e evita derivadas pesadas; alternativamente poderia-se aplicar a regra de L’Hôpital (duas vezes), mas a fatoração é mais direta aqui.

Resposta

1

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