Essa identidade é apenas uma multiplicação por \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x}=1. Para o estudo do limite isso é permitido porque estamos interessados no comportamento quando x\to0, não no valor exatamente em x=0.
Passo 3
Agora vamos analisar os dois fatores separadamente:
Conhecimento básico sobre a função exponencial: para u pequeno pode-se usar a expansão em série ou o fato de que a derivada de e^{u} em u=0 é 1; ambos dão
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\text{termos de ordem superior},
(Comentário didático: essa é uma das limites padrão — \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1 — que aparece muito em provas. Pode-se justificá-lo por série de Taylor ou pela definição da derivada.)
Passo 5
Estudo do segundo fator \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}.
Lembrando que \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} sempre que \cos x\neq0, temos
Breve comentário sobre método: escolhi fatorar em \dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}{\tan x} porque usa limites padrão e identidades trigonométricas, é rápido e evita derivadas pesadas; alternativamente poderia-se aplicar a regra de L’Hôpital (duas vezes), mas a fatoração é mais direta aqui.