QUESTÃO: Calcule limites de funções.
(i) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{2 x}+3 x}{e^{2 x}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}+3x}{e^{2x}}.
Informações dadas explicitamente:
  • No numerador aparece e^{2x} (uma função exponencial) somada a 3x (uma função linear).
  • No denominador aparece e^{2x}.
    O que precisa ser encontrado: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples para simplificar a expressão: dividir numerador e denominador por e^{2x}. Isso é válido sempre que e^{2x}\neq0, o que acontece para todo x. Fazendo a divisão obtemos uma forma mais clara:
\frac{e^{2x}+3x}{e^{2x}}=\frac{e^{2x}}{e^{2x}}+\frac{3x}{e^{2x}}=1+\frac{3x}{e^{2x}}.
Então o limite original reduz-se a
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x}{e^{2x}}\right).
Agora basta calcular \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x}{e^{2x}} e somar 1.

Passo 3

Vamos analisar a parte \dfrac{3x}{e^{2x}}. Note que quando x\to\infty tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, ou seja, temos uma forma do tipo \dfrac{\infty}{\infty}. Isso permite aplicar a Regra de L’Hôpital (que diz que, sob hipóteses usuais de diferenciabilidade, o limite da razão é o mesmo que o limite da razão das derivadas).
Aplicando a Regra de L’Hôpital uma vez:
  • derivada do numerador 3x em relação a x é 3;
  • derivada do denominador e^{2x} em relação a x é 2e^{2x} (pela regra da cadeia).
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2e^{2x}}.

Passo 4

Avaliar agora \lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{2e^{2x}}. Como e^{2x}\to\infty quando x\to\infty, a fração com e^{2x} no denominador tende a zero. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2e^{2x}}=0.
Isso implica que
\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{e^{2x}}=0.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 2, temos
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x}{e^{2x}}\right)=1+0=1.

Resposta

1

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