QUESTÃO: Calcule limites de funções.
(i)
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas explicitamente:
- No numerador aparece
(uma função exponencial) somada a (uma função linear). - No denominador aparece
.
O que precisa ser encontrado: o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples para simplificar a expressão: dividir numerador e denominador por
. Isso é válido sempre que
, o que acontece para todo
. Fazendo a divisão obtemos uma forma mais clara:
Então o limite original reduz-se a
Agora basta calcular
e somar 1.
Passo 3
Vamos analisar a parte
. Note que quando
tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, ou seja, temos uma forma do tipo
. Isso permite aplicar a Regra de L’Hôpital (que diz que, sob hipóteses usuais de diferenciabilidade, o limite da razão é o mesmo que o limite da razão das derivadas).
Aplicando a Regra de L’Hôpital uma vez:
- derivada do numerador
em relação a é ; - derivada do denominador
em relação a é (pela regra da cadeia).
Portanto
Passo 4
Avaliar agora
. Como
quando
, a fração com
no denominador tende a zero. Logo
Isso implica que
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 2, temos