QUESTÃO: Calcule limites de funções.
(v)
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Observação imediata: tanto o numerador quanto o denominador tendem paraquando , então a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Escolha do método e justificativa rápida (sem pular etapas): há duas abordagens naturais aqui.
- Usar uma simplificação algébrica do logaritmo para ver a ordem de grandeza (essa é a mais direta).
- Ou aplicar o Teorema de L’Hôpital porque temos a forma
.
Vou combinar as duas: primeiro simplificopara escrever a fração em termos de (mais fácil de comparar com potências de ), e em seguida uso um argumento com L’Hôpital para formalizar que logaritmos crescem mais devagar que potências.
Passo 3
Manipulação algébrica do numerador (técnica padrão com logaritmos):
Como
, temos
Portanto o limite pedido pode ser escrito como
desde que cada limite existente seja finito (vamos mostrar que cada um vale
).
Passo 4
Análise do segundo termo
.
Para
temos
pequeno quando
grande, e a desigualdade elementar
vale para
. Assim, para
grande,
Logo
Como
quando
, pelo teorema do confronto obtemos
Passo 5
Análise do primeiro termo
.
É suficiente mostrar que
, pois multiplicar por
só escala o resultado. Para provar isso uso L’Hôpital numa forma geral: para qualquer
tem-se
Prova curta usando L’Hôpital:
e
, então aplicando L’Hôpital,
Escolhendo
obtemos
. Portanto
Passo 6
Juntando os resultados dos Passos 4 e 5: ambos os termos que compõem a fração simplificada tendem a
. Logo
Boa! Isso mostra de forma rigorosa que logaritmos (aqui
) crescem muito mais devagar que qualquer potência positiva de
, então o denominador vence e o quociente vai a zero.