QUESTÃO: Calcule limites de funções.
(v) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2}+3 x\right)}{\sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{\sqrt{x}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é \ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr).
  • O denominador é \sqrt{x}.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
    Observação imediata: tanto o numerador quanto o denominador tendem para +\infty quando x\to\infty, então a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Escolha do método e justificativa rápida (sem pular etapas): há duas abordagens naturais aqui.
  1. Usar uma simplificação algébrica do logaritmo para ver a ordem de grandeza (essa é a mais direta).
  2. Ou aplicar o Teorema de L’Hôpital porque temos a forma \infty/\infty.
    Vou combinar as duas: primeiro simplifico \ln(x^{2}+3x) para escrever a fração em termos de \ln x (mais fácil de comparar com potências de x), e em seguida uso um argumento com L’Hôpital para formalizar que logaritmos crescem mais devagar que potências.

Passo 3

Manipulação algébrica do numerador (técnica padrão com logaritmos):
\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)=\ln\!\bigl(x^{2}(1+3/x)\bigr).
Como \ln(ab)=\ln a+\ln b, temos
\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)=\ln(x^{2})+\ln\!\bigl(1+3/x\bigr)=2\ln x+\ln\!\bigl(1+3/x\bigr).
Portanto o limite pedido pode ser escrito como
\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x+\ln(1+3/x)}{x^{1/2}}= \lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x^{1/2}}+\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{x^{1/2}},
desde que cada limite existente seja finito (vamos mostrar que cada um vale 0).

Passo 4

Análise do segundo termo \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{x^{1/2}}.
Para x>0 temos u=3/x>0 pequeno quando x grande, e a desigualdade elementar \ln(1+u)\le u vale para u>-1. Assim, para x grande,
0<\ln\!\bigl(1+3/x\bigr)\le \frac{3}{x}.
Logo
0\le \frac{\ln(1+3/x)}{x^{1/2}}\le \frac{3}{x}\cdot\frac{1}{x^{1/2}}=\frac{3}{x^{3/2}}.
Como \dfrac{3}{x^{3/2}}\to 0 quando x\to\infty, pelo teorema do confronto obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+3/x)}{x^{1/2}}=0.

Passo 5

Análise do primeiro termo \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x^{1/2}}.
É suficiente mostrar que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/2}}=0, pois multiplicar por 2 só escala o resultado. Para provar isso uso L’Hôpital numa forma geral: para qualquer a>0 tem-se
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{a}}=0.
Prova curta usando L’Hôpital: \ln x\to\infty e x^{a}\to\infty, então aplicando L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{a}}=\lim_{x\to\infty}\frac{(d/dx)\ln x}{(d/dx)x^{a}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{a x^{a-1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{a x^{a}}=0.
Escolhendo a=\tfrac{1}{2} obtemos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/2}}=0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x^{1/2}}=2\cdot 0=0.

Passo 6

Juntando os resultados dos Passos 4 e 5: ambos os termos que compõem a fração simplificada tendem a 0. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{\sqrt{x}}=0.
Boa! Isso mostra de forma rigorosa que logaritmos (aqui \ln x) crescem muito mais devagar que qualquer potência positiva de x, então o denominador vence e o quociente vai a zero.

Resposta

\,0\,

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