Questão 2. O campo magnético da Terra pode ser representado por um campo vetorial com origem localizada no centro da Terra, a partir eixo y positivo em direção ao polo norte terrestre. A equação desse campo vetorial é
onde
é o momento magnético da Terra. Mostre que o campo vetorial é conservativo.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
onde
é constante. A pergunta é: mostrar que o campo vetorial é conservativo.
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
e . - O denominador contém
, logo há singularidade em . - Não foi fornecida nenhuma outra restrição do domínio, então consideramos o domínio natural do campo:
.
Passo 2
O que significa “campo conservativo” e quais critérios vamos usar (explicação didática).
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar (função potencial) com derivadas parciais contínuas tal que . Ou seja,
- Um teste comum é verificar se
numa região simplesmente conexa; essa igualdade (campo sem rotor) é uma condição necessária e, em regiões simplesmente conexas, também suficiente. - Atenção importante: o domínio natural aqui é
, que NÃO é simplesmente conexo. Então, mesmo se em , isso por si só não garante automaticamente existência global de . Por isso vamos: - calcular
e para ver se o campo é irrotacional; e - construir explicitamente uma função potencial
definida em e verificar . Encontrando em todo o domínio concluímos que o campo é conservativo nesse domínio.
- calcular
Passo 3
Cálculo de
. Vou tratar
como constante e usar a regra do produto/ cadeia.
Escrevendo e
para clareza, temos
.
Calcular :
Escrevendo
Calcular
Agora aplicando a regra do produto em
:
Como
temos
. Substituindo:
Multiplicando por
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Cálculo de
. Aqui
.
Calcular :
Calcular
Aplicando a regra do produto:
Temos
. Assim
Juntando os termos e multiplicando por
:
Agora expandindo o parêntese usando
:
Portanto
Passo 5
Comparando os resultados dos passos anteriores:
Logo
Assim o campo é irrotacional no domínio natural. Mas, como explicado antes, por o domínio não ser simplesmente conexo precisamos também construir explicitamente uma potencial para ter a garantia de que o campo é conservativo em todo o domínio.
Passo 6
Construção explícita da função potencial
(método padrão: integrar
em relação a
e determinar a função de integração dependente de
).
Queremos . Integramos em
, tratando
como constante:
Queremos
Fazendo a substituição
com
(logo
):
Voltando às variáveis originais
Passo 7
Determinar
comparando
com
. Calcule
a partir da expressão obtida:
Usando regra do produto e cadeia:
Com
obtemos
Substituindo
dá
Mas o componente
é exatamente
. Para que
precisamos de
. Assim
é constante (pode ser tomada zero).
Portanto uma função potencial válida é
Verificamos que
e
em
, e
é
nesse domínio.
Passo 8
Conclusão e interpretação final (motivação para prova).
- Construímos explicitamente
tal que em . Isso prova que o campo é conservativo nesse domínio. - Observação prática para prova: uma maneira rápida é tentar reconhecer um candidato a potencial por inspeção (aqui
emergiu naturalmente), ou usar o teste seguido da integração para determinar a constante de integração. Sempre lembre do cuidado com a singularidade no origem.
Resposta
O campo é conservativo em
. Uma função potencial é
.