Questão 2. O campo magnético da Terra pode ser representado por um campo vetorial com origem localizada no centro da Terra, a partir eixo y positivo em direção ao polo norte terrestre. A equação desse campo vetorial é
\begin{aligned} \mathbf{F}(x, y) & =P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} \\\ & =\frac{m}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5 / 2}}\left[3 x y \mathbf{i}+\left(2 y^{2}-x^{2}\right) \mathbf{j}\right] \end{aligned}
onde m é o momento magnético da Terra. Mostre que o campo vetorial é conservativo.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j} com
P(x,y)=\frac{m}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5/2}}\,3xy
Q(x,y)=\frac{m}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5/2}}\,(2y^{2}-x^{2})
onde m é constante. A pergunta é: mostrar que o campo vetorial é conservativo.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de P(x,y) e Q(x,y).
  • O denominador contém \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5/2}, logo há singularidade em (x,y)=(0,0).
  • Não foi fornecida nenhuma outra restrição do domínio, então consideramos o domínio natural do campo: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 2

O que significa “campo conservativo” e quais critérios vamos usar (explicação didática).
  • Um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) (função potencial) com derivadas parciais contínuas tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Ou seja,
\phi_x=P\quad\text{e}\quad\phi_y=Q.
  • Um teste comum é verificar se \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} numa região simplesmente conexa; essa igualdade (campo sem rotor) é uma condição necessária e, em regiões simplesmente conexas, também suficiente.
  • Atenção importante: o domínio natural aqui é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, que NÃO é simplesmente conexo. Então, mesmo se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}, isso por si só não garante automaticamente existência global de \varphi. Por isso vamos:
    1. calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x para ver se o campo é irrotacional; e
    2. construir explicitamente uma função potencial \varphi definida em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} e verificar \nabla\varphi=\mathbf{F}. Encontrando \varphi em todo o domínio concluímos que o campo é conservativo nesse domínio.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial P}{\partial y}. Vou tratar m como constante e usar a regra do produto/ cadeia.
Escrevendo r^{2}=x^{2}+y^{2} e r=(x^{2}+y^{2})^{1/2} para clareza, temos P=\dfrac{3mxy}{r^{5}}.
Calcular \partial P/\partial y:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\!\left(3m x y r^{-5}\right) =3m x\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y r^{-5}\right).
Agora aplicando a regra do produto em y r^{-5}:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y r^{-5}\right)=r^{-5}+y\cdot(-5)r^{-7}\cdot \frac{\partial r}{\partial y}.
Como r=(x^{2}+y^{2})^{1/2} temos \dfrac{\partial r}{\partial y}=\dfrac{y}{r}. Substituindo:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y r^{-5}\right)=r^{-5}-5y^{2}r^{-8}\cdot r=r^{-5}-5y^{2}r^{-7}.
Multiplicando por 3m x:
\frac{\partial P}{\partial y}=3m x\left(r^{-5}-5y^{2}r^{-7}\right) =3m x r^{-7}\left(r^{2}-5y^{2}\right).
Substituindo r^{2}=x^{2}+y^{2} obtemos
\frac{\partial P}{\partial y}=3m x \frac{x^{2}+y^{2}-5y^{2}}{r^{7}} =3m x \frac{x^{2}-4y^{2}}{r^{7}}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Aqui Q=\dfrac{m(2y^{2}-x^{2})}{r^{5}}.
Calcular \partial Q/\partial x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =m\frac{\partial}{\partial x}\!\left((2y^{2}-x^{2})r^{-5}\right).
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left((2y^{2}-x^{2})r^{-5}\right)=(-2x)r^{-5}+(2y^{2}-x^{2})(-5)r^{-7}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}.
Temos \dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r}. Assim
\frac{\partial}{\partial x}\!\left((2y^{2}-x^{2})r^{-5}\right)=-2x r^{-5}-5(2y^{2}-x^{2})x r^{-7}.
Juntando os termos e multiplicando por m:
\frac{\partial Q}{\partial x}=m\left(-2x r^{-5}-5x(2y^{2}-x^{2})r^{-7}\right) =-x m r^{-7}\left(2r^{2}+5(2y^{2}-x^{2})\right).
Agora expandindo o parêntese usando r^{2}=x^{2}+y^{2}:
2r^{2}+5(2y^{2}-x^{2})=2(x^{2}+y^{2})+10y^{2}-5x^{2}= (2x^{2}+2y^{2}+10y^{2}-5x^{2}) = -3x^{2}+12y^{2}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=-x m r^{-7}\left(-3x^{2}+12y^{2}\right)=3m x\frac{x^{2}-4y^{2}}{r^{7}}.

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial P}{\partial y}=3m x\frac{x^{2}-4y^{2}}{r^{7}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=3m x\frac{x^{2}-4y^{2}}{r^{7}}.
Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em}\\ \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Assim o campo é irrotacional no domínio natural. Mas, como explicado antes, por o domínio não ser simplesmente conexo precisamos também construir explicitamente uma potencial para ter a garantia de que o campo é conservativo em todo o domínio.

Passo 6

Construção explícita da função potencial \varphi (método padrão: integrar P em relação a x e determinar a função de integração dependente de y).
Queremos \phi_x=P=\dfrac{3m x y}{r^{5}}. Integramos em x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int \frac{3m x y}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}\,dx + h(y).
Fazendo a substituição u=x^{2}+y^{2} com du=2x\,dx (logo x\,dx=du/2):
\int \frac{3m x y}{u^{5/2}}\,dx =\frac{3m y}{2}\int u^{-5/2}\,du =\frac{3m y}{2}\cdot\frac{u^{-3/2}}{-3/2}+C =-m y u^{-3/2}+C.
Voltando às variáveis originais
\varphi(x,y)=-m y (x^{2}+y^{2})^{-3/2}+h(y).

Passo 7

Determinar h(y) comparando \phi_y com Q. Calcule \phi_y a partir da expressão obtida:
\varphi(x,y)=-m y r^{-3}+h(y).
Usando regra do produto e cadeia:
\phi_y=-m\left(r^{-3}+y\cdot(-3)r^{-5}\cdot\frac{\partial r}{\partial y}\right)+h'(y).
Com \dfrac{\partial r}{\partial y}=\dfrac{y}{r} obtemos
\phi_y=-m\left(r^{-3}-3y^{2}r^{-5}\right)+h'(y) =-m\frac{r^{2}-3y^{2}}{r^{5}}+h'(y).
Substituindo r^{2}=x^{2}+y^{2}
\phi_y=-m\frac{x^{2}-2y^{2}}{r^{5}}+h'(y)=\frac{m(2y^{2}-x^{2})}{r^{5}}+h'(y).
Mas o componente Q é exatamente Q=\dfrac{m(2y^{2}-x^{2})}{r^{5}}. Para que \phi_y=Q precisamos de h'(y)=0. Assim h(y) é constante (pode ser tomada zero).
Portanto uma função potencial válida é
\varphi(x,y)=-\frac{m y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Verificamos que \phi_x=P e \phi_y=Q em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, e \varphi é C^{2} nesse domínio.

Passo 8

Conclusão e interpretação final (motivação para prova).
  • Construímos explicitamente \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Isso prova que o campo é conservativo nesse domínio.
  • Observação prática para prova: uma maneira rápida é tentar reconhecer um candidato a potencial por inspeção (aqui \varphi\propto y/r^{3} emergiu naturalmente), ou usar o teste \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x seguido da integração para determinar a constante de integração. Sempre lembre do cuidado com a singularidade no origem.

Resposta

O campo é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=-\frac{m y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

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