Questão 2: Considere a curva definida pela equação e^{2 y}+x=3-x y.
(a) ( \mathbf{1 0 P t s} ) Determine y^{\prime}
(b) ( \mathbf{1 0 P t s} ) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto ( 2,0 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida pela equação
e^{2y}+x=3-xy
e pede duas coisas:
  • (a) determinar y', ou seja, a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y;
  • (b) determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (2,0).
Informações relevantes dadas:
  • A relação implícita entre x e y é \;e^{2y}+x=3-xy.
  • O ponto onde querem a reta tangente é (x,y)=(2,0).

Passo 2

Ideia para (a): como a equação relaciona x e y de forma implícita, vamos derivar ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x (ou seja, y=y(x)). Aqui preciso usar duas regras principais:
  • Regra da cadeia: se temos e^{2y}, a derivada em relação a x é e^{2y} vezes a derivada do expoente 2y em relação a x. Como \dfrac{d}{dx}(2y)=2y', obtemos \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{2y}\bigr)=2e^{2y}y'.
  • Regra do produto: para -xy aplicamos \dfrac{d}{dx}(xy)=x y' + y e portanto \dfrac{d}{dx}(-xy)=-(x y' + y) = -x y' - y.
Vou aplicar essas derivadas termo a termo no próximo passo.

Passo 3

Derivando ambos os lados de \;e^{2y}+x=3-xy\; em relação a x:
  • Derivada de e^{2y} é 2e^{2y}y' (regra da cadeia).
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de 3 é 0.
  • Derivada de -xy é -x y' - y (regra do produto).
Portanto, igualando as derivadas, obtemos a equação
2e^{2y}y' + 1 = 0 - x y' - y.

Passo 4

Agora vamos isolar y'. A equação do passo anterior é
2e^{2y}y' + 1 = -x y' - y.
Reagrupando os termos com y' no lado esquerdo e os demais no direito:
2e^{2y}y' + x y' = -y - 1.
Fatorando y':
y'\bigl(2e^{2y} + x\bigr) = -y - 1.
Finalmente, isolando y',
y' = \frac{-y - 1}{\,2e^{2y} + x\,} = -\frac{y+1}{2e^{2y}+x}.
Observação rápida: essa fórmula vale desde que o denominador 2e^{2y}+x não seja zero (caso concreto de singularidade), mas isso não acontece no ponto pedido (2,0) como veremos.

Passo 5

Verificação rápida de que o ponto (2,0) pertence à curva (só para ficar tranquilo antes de usar o ponto):
Substituindo em \;e^{2y}+x=3-xy\; com x=2 e y=0:
e^{0}+2 = 1+2 = 3
e
3 - 2\cdot 0 = 3,
portanto o ponto satisfaz a equação da curva. Boa — podemos usá-lo.

Passo 6

Agora calculo a derivada no ponto (2,0). Usando a fórmula obtida:
y' = -\frac{y+1}{2e^{2y}+x}.
Substituindo x=2 e y=0:
y'(2,0) = -\frac{0+1}{2e^{0}+2} = -\frac{1}{2\cdot 1 + 2} = -\frac{1}{4}.
Então a inclinação da reta tangente no ponto é m=-\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação): para ponto (x_0,y_0)=(2,0) e inclinação m=-\dfrac{1}{4},
y-y_0 = m(x-x_0).
Substituindo:
y-0 = -\frac{1}{4}(x-2).
Podemos simplificar para a forma reduzida:
y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}.

Resposta

(a) y' = -\dfrac{y+1}{2e^{2y}+x}
(b) y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{2}

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