Questão 2: Considere a curva definida pela equação
.
(a) (
) Determine
(b) (
) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto ( 2,0 ).
(a) (
(b) (
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida pela equação
e pede duas coisas:
- (a) determinar
, ou seja, a derivada em termos de e ; - (b) determinar a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Informações relevantes dadas:
- A relação implícita entre
e é . - O ponto onde querem a reta tangente é
.
Passo 2
Ideia para (a): como a equação relaciona
e
de forma implícita, vamos derivar ambos os lados em relação a
, lembrando que
é função de
(ou seja,
). Aqui preciso usar duas regras principais:
- Regra da cadeia: se temos
, a derivada em relação a é vezes a derivada do expoente em relação a . Como , obtemos . - Regra do produto: para
aplicamos e portanto .
Vou aplicar essas derivadas termo a termo no próximo passo.
Passo 3
Derivando ambos os lados de
em relação a
:
- Derivada de
é (regra da cadeia). - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é (regra do produto).
Portanto, igualando as derivadas, obtemos a equação
Passo 4
Agora vamos isolar
. A equação do passo anterior é
Reagrupando os termos com
no lado esquerdo e os demais no direito:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
,
Observação rápida: essa fórmula vale desde que o denominador
não seja zero (caso concreto de singularidade), mas isso não acontece no ponto pedido
como veremos.
Passo 5
Verificação rápida de que o ponto
pertence à curva (só para ficar tranquilo antes de usar o ponto):
Substituindo em com
e
:
Substituindo em
e
portanto o ponto satisfaz a equação da curva. Boa — podemos usá-lo.
Passo 6
Agora calculo a derivada no ponto
. Usando a fórmula obtida:
Substituindo
e
:
Então a inclinação da reta tangente no ponto é
.
Passo 7
Equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação): para ponto
e inclinação
,
Substituindo:
Podemos simplificar para a forma reduzida:
Resposta
(a)
(b)
(b)