Questão 3 (2.5)
Considere os dados:
x 0.5 1.0 1.5 2.0
y 1.8 2.3 2.7 3.0
a) Ajuste o modelo
y=\frac{1}{a x+b \sin (x)}
por minimos quadrados. Calcule y(1.2).
b) Calcule o coeficiente de determinação ele é utilize por que esse coeficiente bus importante e para que ele
R^{2}=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}},
onde y_{i} são os valores observados, \hat{y}_{i} são os valores ajustados pelo modelo e \bar{y} é a média dos darlos.
c) Explique a importância da análise de resíduos na validação do modelo.
d) Linearize
y=1+a x^{b}
para resolver por mínimos quadrados. Esboce o procedimento passo a passo sem necessidade de resolver explicitamente o sistema linear.
e) Quais são as vantagens do método dos mínimos quadrados em relação à interpolação polinomia?

Passo 1

O enunciado dá quatro pares de observações (x_i,y_i):
\begin{array}{c|cccc} x & 0{,}5 & 1{,}0 & 1{,}5 & 2{,}0\\hline y & 1{,}8 & 2{,}3 & 2{,}7 & 3{,}0 \end{array}
E pede cinco coisas:
(a) ajustar o modelo \displaystyle y=\frac{1}{a x + b\sin(x)} por mínimos quadrados e calcular y(1{,}2);
(b) calcular o coeficiente de determinação R^2 pelo fórmula dada e justificar por que ele é importante;
(c) explicar a importância da análise de resíduos na validação do modelo;
(d) linearizar y=1+a x^{b} para resolver por mínimos quadrados (apenas esboço do procedimento, sem resolver sistema);
(e) apontar vantagens do método dos mínimos quadrados em relação à interpolação polinomial.
Informações relevantes extraídas do enunciado (valores numéricos que usarei): os quatro pontos acima. Não há figura adicional.

Passo 2

Ideia do ajuste do modelo dado e linearização prática (aula rápida e por que funciona).
  • O modelo é \displaystyle y=\frac{1}{a x + b\sin(x)}. Se definirmos \displaystyle z=\frac{1}{y}, então obtemos a relação linear em a e b:
\boxed{\; z = a x + b \sin(x)\;}
  • Explicação didática: transformar a variável dependente para z=1/y nos dá um modelo linear nos parâmetros a e b. Já sabemos como ajustar modelos lineares por mínimos quadrados: montamos as somas necessárias e resolvemos as equações normais. Essa transformação é válida porque y não é zero nos dados (aqui todos positivos), então z existe.
  • Portanto vou ajustar z como variável resposta usando regressão linear com duas regressoras: x e \sin(x). Depois, para prever y em qualquer x_0, calculo \hat{z}(x_0)=\hat a x_0 + \hat b \sin(x_0) e devolvo \hat y(x_0)=1/\hat z(x_0).

Passo 3

Preparação dos dados transformados (faço as contas passo a passo e mostro o porquê de cada soma).
  • Calculo z_i=1/y_i e \sin(x_i) para cada ponto:
\begin{array}{c|cccc} i & 1 & 2 & 3 & 4\\hline x_i & 0{,}5 & 1{,}0 & 1{,}5 & 2{,}0\\\ y_i & 1{,}8 & 2{,}3 & 2{,}7 & 3{,}0\\\ z_i=1/y_i & 0{,}5555556 & 0{,}4347826 & 0{,}3703704 & 0{,}3333333\\\ \sin(x_i) & 0{,}4794255386 & 0{,}8414709848 & 0{,}9974949866 & 0{,}9092974268 \end{array}
(Valores de \sin(x_i) obtidos diretamente das funções trigonométricas; valores de z_i são reciprocais de y_i.)

Passo 4

Montagem das somas necessárias para as equações normais (mostro explicitamente o que soma e por quê).
Para regressão linear sem intercepto do tipo z = a x + b s com s=\sin(x), as equações normais são:
\begin{pmatrix} \sum x_i^2 & \sum x_i s_i\\[4pt] \sum x_i s_i & \sum s_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum x_i z_i\\[4pt] \sum s_i z_i \end{pmatrix}.
Calculo as somas (vou apresentar os valores numéricos usados):
\begin{aligned} \sum x_i &= 5{,}0,\\\ \sum s_i &= 3{,}227688936841836,\\\ \sum z_i &= 1{,}694041867954911,\\\ \sum x_i^2 &= 7{,}5,\\\ \sum x_i s_i &= 4{,}3960210876674435,\\\ \sum s_i^2 &= 2{,}7597404141654445,\\\ \sum x_i z_i &= 1{,}934782608695651,\\\ \sum s_i z_i &= 1{,}304797073258209. \end{aligned}
Observação didática: cada soma é construída somando os produtos correspondentes ponto a ponto; por exemplo \sum x_i s_i = x_1 s_1 + x_2 s_2 + \cdots.]

Passo 5

Escrita explícita do sistema 2×2 e método de resolução (Cramer / inversa 2×2) — faço a conta.
O sistema numérico é
\begin{pmatrix} 7{,}5 & 4{,}3960210876674435\\[4pt] 4{,}3960210876674435 & 2{,}7597404141654445 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}934782608695651\\[4pt] 1{,}304797073258209 \end{pmatrix}.
Para resolver, uso a fórmula da inversa de matriz 2\times2. O determinante é
D = 7{,}5\cdot 2{,}7597404141654445 - (4{,}3960210876674435)^2 \approx 1{,}373051703449786.
Os parâmetros são
\begin{aligned} a &= \frac{\,2{,}7597404141654445\cdot 1{,}934782608695651 - 4{,}3960210876674435\cdot 1{,}304797073258209\,}{D},\\[4pt] b &= \frac{\,7{,}5\cdot 1{,}304797073258209 - 4{,}3960210876674435\cdot 1{,}934782608695651\,}{D}. \end{aligned}
Fazendo as multiplicações e divisões (aqui mostro os números intermediários já calculados):
\begin{aligned} \text{num}_a &\approx 5{,}339500827 - 5{,}735915456 \approx -0{,}396414629,\\[4pt] \text{num}_b &\approx 9{,}785978049 - 8{,}505345500 \approx 1{,}280632549. \end{aligned}
Logo
\boxed{\; \hat a \approx -0{,}288855\quad\text{e}\quad \hat b \approx 0{,}932768\;}.
Breve comentário didático: esses \hat a,\hat b minimizam a soma dos quadrados das diferenças em z (isto é, em 1/y), porque linearizamos o problema transformando y\mapsto z.]

Passo 6

Previsão de y(1{,}2) usando os parâmetros obtidos (explico passo a passo).
  • Calculo \sin(1{,}2). Valor: \sin(1{,}2)\approx 0{,}9320390859672263.
  • Prevejo \hat z(1{,}2)=\hat a\cdot 1{,}2 + \hat b\cdot \sin(1{,}2). Substituindo:
\hat z(1{,}2)\approx (-0{,}288855)\cdot 1{,}2 + 0{,}932768\cdot 0{,}932039086 \approx 0{,}5220\\ (\text{aprox.}).
  • Finalmente \hat y(1{,}2)=1/\hat z(1{,}2). Portanto
\boxed{\; \hat y(1{,}2)\approx 1{,}92\; }.
Explicação prática: primeiro ajustamos em z=1/y, depois invertimos a previsão para voltar ao espaço original de y.

Passo 7

Cálculo do coeficiente de determinação R^2 (passo a passo) — uso a definição do enunciado.
  • Para cada ponto calculo \hat z_i=\hat a x_i + \hat b \sin(x_i) e depois \hat y_i = 1/\hat z_i. Com os \hat a,\hat b acima obtive as previsões (arredondadas):
\hat y_1\approx 3{,}302,\quad \hat y_2\approx 2{,}016,\quad \hat y_3\approx 2{,}012,\quad \hat y_4\approx 3{,}696.
  • A média observada é \bar y = (1{,}8+2{,}3+2{,}7+3{,}0)/4 = 2{,}45.
  • Calculo a soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
\text{SSE}=\sum_{i=1}^4 (y_i-\hat y_i)^2 \approx 3{,}2953.
  • Calculo a soma total (SST):
\text{SST}=\sum_{i=1}^4 (y_i-\bar y)^2 = 0{,}81.
  • Pelo enunciado,
R^2 = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} \approx 1 - \frac{3{,}2953}{0{,}81} \approx -3{,}07.
Interpretação numérica: R^2 negativo indica que, ao comparar erros no espaço de y, o modelo ajustado (após linearizar em z) tem desempenho pior que um preditor trivial que sempre devolve a média \bar y. Isso ocorre porque ajustamos minimizando erro em z=1/y, não diretamente em y; além disso o modelo pode ser inadequado para esses dados.

Passo 8

Explico didaticamente o que significa o R^2 e por que ele é usado.
  • O coeficiente de determinação mede a fração da variabilidade total nos dados em y que é “explicada” pelo modelo: quanto mais perto de 1, melhor; valores perto de 0 indicam que o modelo não explica bem; valores negativos (como aqui) mostram que o modelo é pior que a média.
  • Por que é importante: dá uma medida resumida da qualidade do ajuste, é amplamente usado para comparar modelos simples, e ajuda a identificar quando um modelo não está capturando a variação dos dados. Atenção: R^2 não diz se o modelo é correto (validações adicionais são necessárias, por exemplo análise de resíduos).

Passo 9

Importância da análise de resíduos (explicação passo a passo e prática).
  • Definição rápida: o resíduo em cada ponto é e_i = y_i - \hat y_i. A análise dos resíduos procura padrões nesses e_i.
  • O que verificar e por quê:
    • Padrões sistemáticos (curvas, tendência) indicam que o modelo é mal especificado (falta termos, não-linearidade não capturada).
    • Heterocedasticidade (variância dos resíduos não constante) indica que os erros não têm variância homogênea — isso afeta inferência e intervalos de confiança.
    • Outliers e pontos influentes identificáveis pelos resíduos grandes; esses pontos podem distorcer o ajuste.
    • Independência dos resíduos (em séries temporais é crucial); se não for atendida, o ajuste e as inferências estão comprometidos.
    • Normalidade dos resíduos (quando se quer construir intervalos ou testes paramétricos) — desvio forte da normalidade indica atenção.
  • Conclusão prática: olhar para um gráfico de resíduos versus preditos, histograma de resíduos e Q–Q plot é uma etapa obrigatória antes de aceitar um modelo.

Passo 10

Linearização de y=1+a x^{b} (procedimento passo a passo, sem resolver o sistema).
  • Queremos estimar a e b por mínimos quadrados. Primeiro isolamos a parte escalável:
y-1 = a x^{b}.
  • Tomamos logaritmo natural (condição: y-1>0 para poder tomar log; é imprescindível checar isso nos dados):
\ln(y-1) = \ln a + b\,\ln x.
  • Definindo Y=\ln(y-1), X=\ln x e A=\ln a, obtemos o modelo linear
Y = A + b X.
  • Procedimento para estimar por mínimos quadrados:
    1. Calcular X_i=\ln x_i e Y_i=\ln(y_i-1) para cada observação (verificar y_i>1).
    2. Ajustar uma regressão linear simples de Y em função de X: estima-se \hat b e \hat A pelas fórmulas usuais de mínimos quadrados (somas de X_i, Y_i, X_i^2, X_iY_i).
    3. Obter \hat a = e^{\hat A}.
    4. Para prever em x_0: \widehat{y-1}(x_0)=\hat a x_0^{\hat b} e \hat y(x_0)=1+\hat a x_0^{\hat b}.
  • Observação pedagógica: esta transformação converte um problema não-linear em um linear nos parâmetros logarítmicos, permitindo aplicar diretamente mínimos quadrados; porém a transformação altera a métrica de erro (minimiza erro em Y=\ln(y-1), não em y), o que deve ser levado em conta.

Passo 11

Vantagens do método dos mínimos quadrados vs interpolação polinomial (lista objetiva e prática).
  • Robustez a ruído: mínimos quadrados procuram o melhor ajuste médio quando os dados têm erro; interpolação forçada (passar exatamente por todos os pontos) reproduz também o ruído.
  • Evita overfitting: interpolação com polinômios de alto grau tende a oscilar e extrapolar mal; um modelo de mínimos quadrados com poucos parâmetros é mais parcimonioso.
  • Estabilidade numérica: polinômios de alto grau podem ser numericamente instáveis; modelos lineares bem escolhidos são, em geral, mais estáveis.
  • Interpretação e inferência estatística: mínimos quadrados permitem testes, intervalos de confiança e análise de variância; interpolação simplesmente encaixa pontos sem fornecer inferência.
  • Flexibilidade: mínimos quadrados aceitam restrições, transformações e modelos não-lineares (por linearização ou por ajuste não-linear direto), enquanto interpolação polinomial é um caso muito específico.

Resposta

(a) \hat a\approx -0{,}288855,\\ \hat b\approx 0{,}932768,\\ \hat y(1{,}2)\approx 1{,}92.
(b) R^{2}\approx -3{,}07. (valor negativo indica ajuste, em termos de y, pior que usar a média \bar y).
(c) A análise de resíduos é essencial para verificar suposições (linearidade, homocedasticidade, independência, normalidade), detectar outliers/pontos influentes e orientar melhoria do modelo.
(d) Linearização: escreva y-1=a x^{b}, tome logaritmos \ln(y-1)=\ln a + b\ln x; então faça regressão linear de Y=\ln(y-1) em X=\ln x, estime \hat A=\ln\hat a e \hat b, e recupere \hat a=e^{\hat A}. (Requer y>1.)
(e) Vantagens dos mínimos quadrados sobre interpolação polinomial: mais robustez ao ruído, menor tendência a overfitting, maior estabilidade numérica, possibilidade de inferência estatística e maior flexibilidade de modelagem.

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