Questão 3 (2.5) Considere os dados:
(x)
0.5
1.0
1.5
2.0
(y)
1.8
2.3
2.7
3.0
Ajuste o modelo por minimos quadrados. Calcule
.
| (x) | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
| (y) | 1.8 | 2.3 | 2.7 | 3.0 |
Passo 1
O enunciado pede que ajustemos um modelo por mínimos quadrados aos dados e que calculemos o valor previsto em
.
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
Pergunta: ajustar o modelo (linear) por mínimos quadrados e calcular
.
Passo 2
O que é ajustar por mínimos quadrados (explicação didática)?
A ideia é escolher uma reta
A ideia é escolher uma reta
que aproxime os pontos dados minimizando a soma dos quadrados dos erros (resíduos)
. As fórmulas fechadas para os coeficientes da melhor reta (mínimos quadrados ordinários) são obtidas resolvendo as chamadas equações normais; o resultado é:
onde
Aqui:
é o número de pontos,
e
são as médias das amostras,
mede a covariação e
a variação de
. Depois de obter
e
, para prever em
usamos
.
Passo 3
Calculemos as somas necessárias (vou mostrar cada produto e quadrado para você poder fazer na prova sem calculadora, só somas simples):
Calcule cada termo:
Logo
Passo 4
Calcule as médias
e
(aqui
):
Passo 5
Calcule
e
usando as fórmulas:
Calcule
e
. Então
Agora
Calcule
e
. Então
Passo 6
Calcule o coeficiente angular
:
Interprete: a cada aumento de
em
a reta aumenta
unidades em
.
Passo 7
Calcule o coeficiente linear
:
Calcule
. Então
Logo o modelo ajustado é
Passo 8
Agora predizemos para
:
Calcule
. Então