Questão 3 (2.5) Considere os dados:
(x) 0.5 1.0 1.5 2.0
(y) 1.8 2.3 2.7 3.0
Ajuste o modelo por minimos quadrados. Calcule y(1.2).

Passo 1

O enunciado pede que ajustemos um modelo por mínimos quadrados aos dados e que calculemos o valor previsto em x=1,2.
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccc} x & 0,5 & 1,0 & 1,5 & 2,0\\hline y & 1,8 & 2,3 & 2,7 & 3,0 \end{array}
Pergunta: ajustar o modelo (linear) por mínimos quadrados e calcular y(1,2).

Passo 2

O que é ajustar por mínimos quadrados (explicação didática)?
A ideia é escolher uma reta
y = a + b x
que aproxime os pontos dados minimizando a soma dos quadrados dos erros (resíduos) \sum_{i=1}^{n} (y_i - (a+b x_i))^2. As fórmulas fechadas para os coeficientes da melhor reta (mínimos quadrados ordinários) são obtidas resolvendo as chamadas equações normais; o resultado é:
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a = \bar{y} - b\bar{x},
onde
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,
S_{xy}=\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar{x}\bar{y},\qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.
Aqui: n é o número de pontos, \bar{x} e \bar{y} são as médias das amostras, S_{xy} mede a covariação e S_{xx} a variação de x. Depois de obter a e b, para prever em x=1,2 usamos y(1,2)=a+b\cdot1,2.

Passo 3

Calculemos as somas necessárias (vou mostrar cada produto e quadrado para você poder fazer na prova sem calculadora, só somas simples):
\sum x_i = 0,5+1,0+1,5+2,0 = 5,0.
\sum y_i = 1,8+2,3+2,7+3,0 = 9,8.
\sum x_i y_i = 0,5\cdot1,8 + 1,0\cdot2,3 + 1,5\cdot2,7 + 2,0\cdot3,0.
Calcule cada termo:
0,5\cdot1,8 = 0,90,\quad 1,0\cdot2,3 = 2,30,\quad 1,5\cdot2,7 = 4,05,\quad 2,0\cdot3,0 = 6,00.
Logo
\sum x_i y_i = 0,90+2,30+4,05+6,00 = 13,25.
\sum x_i^2 = 0,5^2 + 1,0^2 + 1,5^2 + 2,0^2 = 0,25+1,00+2,25+4,00 = 7,50.

Passo 4

Calcule as médias \bar{x} e \bar{y} (aqui n=4):
\bar{x}=\frac{1}{4}\sum x_i = \frac{5,0}{4} = 1,25,
\bar{y}=\frac{1}{4}\sum y_i = \frac{9,8}{4} = 2,45.

Passo 5

Calcule S_{xy} e S_{xx} usando as fórmulas:
S_{xy}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} = 13,25 - 4\cdot(1,25\cdot2,45).
Calcule 1,25\cdot2,45 = 3,0625 e 4\cdot3,0625 = 12,25. Então
S_{xy} = 13,25 - 12,25 = 1,00.
Agora
S_{xx}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 7,50 - 4\cdot(1,25^2).
Calcule 1,25^2 = 1,5625 e 4\cdot1,5625 = 6,25. Então
S_{xx} = 7,50 - 6,25 = 1,25.

Passo 6

Calcule o coeficiente angular b:
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{1,00}{1,25} = 0,8.
Interprete: a cada aumento de 1 em x a reta aumenta 0,8 unidades em y.

Passo 7

Calcule o coeficiente linear a:
a = \bar{y} - b\bar{x} = 2,45 - 0,8\cdot1,25.
Calcule 0,8\cdot1,25 = 1,00. Então
a = 2,45 - 1,00 = 1,45.
Logo o modelo ajustado é
\hat{y} = 1,45 + 0,8\,x.

Passo 8

Agora predizemos para x=1,2:
\hat{y}(1,2) = 1,45 + 0,8\cdot1,2.
Calcule 0,8\cdot1,2 = 0,96. Então
\hat{y}(1,2) = 1,45 + 0,96 = 2,41.

Resposta

2,41

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