Questão 3: Considere a função
dada por
.
(a) (
Pts) Determine o domínio de
.
(b)
Mostre que
.
(c) (
Pts) Determine os números críticos de
.
(d) (5Pts) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(e) (5Pts) Determine os extremos locais de
, caso existam.
(f) (5Pts) Sabendo que
, estude a concavidade de
.
(g) (5Pts) Determine os pontos de inflexão, caso existam.
(h) (
Pts) Determine as assíntotas ao gráfico de
.
(i) (5Pts) Esboce o gráfico de
.
(a) (
(b)
(c) (
(d) (5Pts) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(e) (5Pts) Determine os extremos locais de
(f) (5Pts) Sabendo que
(g) (5Pts) Determine os pontos de inflexão, caso existam.
(h) (
(i) (5Pts) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em partes (a)–(i): domínio; derivada e verificação de
; números críticos; intervalos de crescimento/decrescimento; extremos locais; estudo da concavidade com
; pontos de inflexão; assíntotas; e esboço do gráfico.
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de e a fórmula de
fornecida.
Vou tratar cada item passo a passo, explicando conceitos usados (domínio, fatoração, regra do quociente, definição de número crítico, sinal da derivada, concavidade, assíntotas, etc.).
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de
Vou tratar cada item passo a passo, explicando conceitos usados (domínio, fatoração, regra do quociente, definição de número crítico, sinal da derivada, concavidade, assíntotas, etc.).
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Para isso precisamos achar onde o denominador é zero, porque aí não está definida. Fatoramos numerador e denominador:
Para isso precisamos achar onde o denominador é zero, porque aí
Portanto a expressão pode ser escrita (formalmente) como
Ao ver essa fatoração notamos que
e
anulam o denominador original. Mesmo que haja uma cancelamento algébrico do fator
, originalmente a função não está definida onde o denominador é zero. Assim o domínio é todos os reais exceto esses valores. Concluímos:
Explicação didática rápida: cancelar
dá a forma simplificada
para
, mas o ponto
continua sendo uma descontinuidade removível (buraco). O ponto
é uma descontinuidade essencial (vertical) porque o numerador em
não zera.
Passo 3
Mostrar que
. Vou usar a forma simplificada válida para pontos do domínio: para
(e também
já que não faz parte do domínio) temos
Para derivar
uso a regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui
e
. Então
e
. Aplico a fórmula:
Portanto, para todo
onde
está definida (isto é, para
), a derivada é
Comentário didático: a derivada resultou em uma expressão simples; repare que o numerador é constante
e o denominador é sempre positivo (quando definido), o que facilitará análise de monotonicidade.
Passo 4
Analisar onde
existe e possíveis pontos críticos relacionados à derivada. Pela expressão encontrada,
essa fórmula está bem definida para todo
exceto
. Porém lembramos que
não pertence ao domínio de
, logo não é um ponto do domínio a ser considerado como número crítico. Também
não pertence ao domínio, então não consideramos
como ponto crítico. Assim, em todos os pontos do domínio
existe e é dada pela fórmula acima.
Passo 5
Determinar os números críticos.
Definição (didática): um número crítico é um no domínio de
tal que
ou
não existe em
. Aqui, para
temos
. O numerador é
(não zero) e o denominador é positivo, logo
para todo
. Além disso, os pontos onde
não existe são
(fora do domínio) e
(fora do domínio). Portanto não há pontos do domínio em que
seja zero ou inexistente.
Definição (didática): um número crítico é um
Conclusão: não existem números críticos de
.
Passo 6
Determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de
.
Como acabamos de ver, para todo vale
. Logo
é estritamente crescente em cada componente do domínio. O domínio tem três componentes separados pelas descontinuidades em
e
, são os intervalos:
Como acabamos de ver, para todo
Em cada um desses intervalos
, portanto
é crescente em todos eles. Não há intervalos de decrescimento.
Passo 7
Determinar extremos locais.
Resumo: extremos locais ocorrem em pontos do domínio onde a função passa de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo), frequentemente em números críticos. Como não há números críticos e a função é crescente em todos os intervalos do domínio, não existem extremos locais. Também é apenas um buraco (não pertence ao domínio), então não pode ser extremo.
Resumo: extremos locais ocorrem em pontos do domínio onde a função passa de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo), frequentemente em números críticos. Como não há números críticos e a função é crescente em todos os intervalos do domínio, não existem extremos locais. Também
Conclusão: não há extremos locais.
Passo 8
Estudo da concavidade usando
.
A concavidade é dada pelo sinal de :
A concavidade é dada pelo sinal de
- Se
em um intervalo, é côncava para cima ali. - Se
em um intervalo, é côncava para baixo ali.
Analisemos o sinal de
O numerador
é negativo. O sinal de
depende do sinal de
, que tem o mesmo sinal de
. Assim:
- Se
(isto é, ), então e . Logo em : concavidade para cima nesse intervalo. - Se
(isto é, ), então e . Logo em (lembrando de excluir do domínio): concavidade para baixo para e para .
Portanto:
Passo 9
Determinar pontos de inflexão.
Definição rápida: um ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em , mas
não pertence ao domínio de
, logo não é ponto de inflexão. Não há nenhuma outra mudança de sinal de
em pontos do domínio (em particular
não muda a concavidade — ambos os lados de
estão em concavidade para baixo — e além disso
não pertence ao domínio). Conclusão: não existem pontos de inflexão pertencentes ao domínio de
.
Definição rápida: um ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em
Passo 10
Determinar assíntotas ao gráfico de
. Vou analisar assíntotas verticais, horizontais (ou oblíquas) e a presença de buraco (descontinuidade removível).
- Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador zera mas o numerador não zera (ou zera de forma que o quociente tende a
). Dos fatores, os zeros do denominador são e . Em o numerador também zera (ambos têm fator ), então é uma descontinuidade removível (buraco), não assíntota vertical. Em o numerador vale , portanto há assíntota vertical em
Podemos ainda verificar os limites laterais para caracterizar o sinal:
o que confirma a assíntota vertical com comportamentos opostos dos lados.
- Assíntotas horizontais/obliquas: para
grande, use a forma simplificada válida fora das descontinuidades:
Assim
Portanto existe uma assíntota horizontal:
Não há assíntota oblíqua adicional, já que o comportamento assintótico é horizontal.
- Buraco (descontinuidade removível): como notado, em
tanto numerador quanto denominador anulam; usando a forma simplificada, o limite é
Como
não está definida, existe um buraco no ponto
.
Resumo das assíntotas e descontinuidades: assíntota vertical
, assíntota horizontal
, e buraco em
.
Passo 11
Esboço qualitativo do gráfico (descrição dos pontos-chave e comportamento). Pontos e comportamentos importantes para desenhar:
- Domínio:
. - Buraco em
(não está no gráfico). - Assíntota vertical:
com e . - Assíntota horizontal:
quando . - Interseção com o eixo
: , então passa por . - Função é estritamente crescente em cada componente do domínio.
- Concavidade: côncava para cima em
; côncava para baixo em e em . - Sem extremos locais e sem pontos de inflexão no domínio.
Como desenhar: à esquerda de
a curva sobe (côncava para cima) indo para
ao aproximar
pela esquerda e aproximando
quando
. Entre
e
a curva vem de
em
, passa por
, continua crescente e concava para baixo até chegar a
próximo de
. Em
há um buraco em
. Para
a curva retoma pouco acima desse buraco (valor efetivo pela expressão simplificada), continua crescente e côncava para baixo, aproximando
quando
. Isso é suficiente para um esboço razoável de prova/exame.
Resposta
(a)
(b) (valendo para todo
).
(c) Não existem números críticos.
(d) é estritamente crescente em
. Não há intervalos de decrescimento.
(e) Não existem extremos locais.
(f) é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
(g) Não existem pontos de inflexão no domínio de .
(h) Assíntota vertical: . Assíntota horizontal:
. Há um buraco (descontinuidade removível) em
.
(i) Esboço qualitativo: curva crescente em cada componente do domínio, com comportamento descrito no passo 11 (assíntotas ,
, passa por
, buraco em
, concavidade conforme (f)).
(b)
(c) Não existem números críticos.
(d)
(e) Não existem extremos locais.
(f)
(g) Não existem pontos de inflexão no domínio de
(h) Assíntota vertical:
(i) Esboço qualitativo: curva crescente em cada componente do domínio, com comportamento descrito no passo 11 (assíntotas