Questão 3: Considere a função f dada por f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}+x-2}.
(a) ( \mathbf{5} Pts) Determine o domínio de f.
(b) (\mathbf{1 0 P t s}) Mostre que f^{\prime}(x)=\frac{2}{(x+2)^{2}}.
(c) ( \mathbf{5} Pts) Determine os números críticos de f.
(d) (5Pts) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(e) (5Pts) Determine os extremos locais de f, caso existam.
(f) (5Pts) Sabendo que f^{\prime \prime}(x)=\frac{-4}{(x+2)^{3}}, estude a concavidade de f.
(g) (5Pts) Determine os pontos de inflexão, caso existam.
(h) ( \mathbf{5} Pts) Determine as assíntotas ao gráfico de f.
(i) (5Pts) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}+x-2}
e pede, em partes (a)–(i): domínio; derivada e verificação de f'(x)=\dfrac{2}{(x+2)^2}; números críticos; intervalos de crescimento/decrescimento; extremos locais; estudo da concavidade com f''(x)=\dfrac{-4}{(x+2)^3}; pontos de inflexão; assíntotas; e esboço do gráfico.
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de f e a fórmula de f'' fornecida.
Vou tratar cada item passo a passo, explicando conceitos usados (domínio, fatoração, regra do quociente, definição de número crítico, sinal da derivada, concavidade, assíntotas, etc.).

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Para isso precisamos achar onde o denominador é zero, porque aí f não está definida. Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-x = x(x-1), \qquad x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).
Portanto a expressão pode ser escrita (formalmente) como
f(x)=\frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)}.
Ao ver essa fatoração notamos que x=1 e x=-2 anulam o denominador original. Mesmo que haja uma cancelamento algébrico do fator (x-1), originalmente a função não está definida onde o denominador é zero. Assim o domínio é todos os reais exceto esses valores. Concluímos:
\text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,1\}.
Explicação didática rápida: cancelar (x-1) dá a forma simplificada f(x)=\dfrac{x}{x+2} para x\neq1, mas o ponto x=1 continua sendo uma descontinuidade removível (buraco). O ponto x=-2 é uma descontinuidade essencial (vertical) porque o numerador em x=-2 não zera.

Passo 3

Mostrar que f'(x)=\dfrac{2}{(x+2)^2}. Vou usar a forma simplificada válida para pontos do domínio: para x\neq1 (e também x\neq-2 já que não faz parte do domínio) temos
f(x)=\frac{x}{x+2}.
Para derivar \dfrac{x}{x+2} uso a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v\neq0, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x+2. Então u'(x)=1 e v'(x)=1. Aplico a fórmula:
f'(x)=\frac{1\cdot(x+2)-x\cdot1}{(x+2)^{2}}=\frac{x+2-x}{(x+2)^{2}}=\frac{2}{(x+2)^{2}}.
Portanto, para todo x onde f está definida (isto é, para x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}), a derivada é
f'(x)=\frac{2}{(x+2)^{2}}.
Comentário didático: a derivada resultou em uma expressão simples; repare que o numerador é constante 2 e o denominador é sempre positivo (quando definido), o que facilitará análise de monotonicidade.

Passo 4

Analisar onde f'(x) existe e possíveis pontos críticos relacionados à derivada. Pela expressão encontrada,
f'(x)=\frac{2}{(x+2)^{2}},
essa fórmula está bem definida para todo x exceto x=-2. Porém lembramos que x=-2 não pertence ao domínio de f, logo não é um ponto do domínio a ser considerado como número crítico. Também x=1 não pertence ao domínio, então não consideramos x=1 como ponto crítico. Assim, em todos os pontos do domínio f'(x) existe e é dada pela fórmula acima.

Passo 5

Determinar os números críticos.
Definição (didática): um número crítico é um c no domínio de f tal que f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c. Aqui, para x\in\text{dom}(f) temos f'(x)=\dfrac{2}{(x+2)^2}. O numerador é 2 (não zero) e o denominador é positivo, logo f'(x)>0 para todo x\in\text{dom}(f). Além disso, os pontos onde f' não existe são x=-2 (fora do domínio) e x=1 (fora do domínio). Portanto não há pontos do domínio em que f' seja zero ou inexistente.
Conclusão: não existem números críticos de f.

Passo 6

Determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de f'.
Como acabamos de ver, para todo x\in\text{dom}(f) vale f'(x)>0. Logo f é estritamente crescente em cada componente do domínio. O domínio tem três componentes separados pelas descontinuidades em -2 e 1, são os intervalos:
(-\infty,-2),\qquad (-2,1),\qquad (1,\infty).
Em cada um desses intervalos f'(x)>0, portanto f é crescente em todos eles. Não há intervalos de decrescimento.

Passo 7

Determinar extremos locais.
Resumo: extremos locais ocorrem em pontos do domínio onde a função passa de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo), frequentemente em números críticos. Como não há números críticos e a função é crescente em todos os intervalos do domínio, não existem extremos locais. Também x=1 é apenas um buraco (não pertence ao domínio), então não pode ser extremo.
Conclusão: não há extremos locais.

Passo 8

Estudo da concavidade usando f''(x)=\dfrac{-4}{(x+2)^{3}}.
A concavidade é dada pelo sinal de f'':
  • Se f''(x)>0 em um intervalo, f é côncava para cima ali.
  • Se f''(x)<0 em um intervalo, f é côncava para baixo ali.
Analisemos o sinal de
f''(x)=\frac{-4}{(x+2)^{3}}.
O numerador -4 é negativo. O sinal de f'' depende do sinal de (x+2)^{3}, que tem o mesmo sinal de x+2. Assim:
  • Se x+2<0 (isto é, x<-2), então (x+2)^3<0 e \dfrac{-4}{(x+2)^3}>0. Logo f''(x)>0 em (-\infty,-2): concavidade para cima nesse intervalo.
  • Se x+2>0 (isto é, x>-2), então (x+2)^3>0 e \dfrac{-4}{(x+2)^3}<0. Logo f''(x)<0 em (-2,\infty) (lembrando de excluir x=1 do domínio): concavidade para baixo para x\in(-2,1) e para x\in(1,\infty).
Portanto:
\text{côncava para cima em }(-\infty,-2), \qquad \text{côncava para baixo em }(-2,1)\cup(1,\infty).ôô

Passo 9

Determinar pontos de inflexão.
Definição rápida: um ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em x=-2, mas x=-2 não pertence ao domínio de f, logo não é ponto de inflexão. Não há nenhuma outra mudança de sinal de f'' em pontos do domínio (em particular x=1 não muda a concavidade — ambos os lados de 1 estão em concavidade para baixo — e além disso x=1 não pertence ao domínio). Conclusão: não existem pontos de inflexão pertencentes ao domínio de f.

Passo 10

Determinar assíntotas ao gráfico de f. Vou analisar assíntotas verticais, horizontais (ou oblíquas) e a presença de buraco (descontinuidade removível).
  1. Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador zera mas o numerador não zera (ou zera de forma que o quociente tende a \pm\infty). Dos fatores, os zeros do denominador são x=-2 e x=1. Em x=1 o numerador também zera (ambos têm fator (x-1)), então x=1 é uma descontinuidade removível (buraco), não assíntota vertical. Em x=-2 o numerador vale (-2)^2-(-2)=6\neq0, portanto há assíntota vertical em
x=-2.
Podemos ainda verificar os limites laterais para caracterizar o sinal:
\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty,
o que confirma a assíntota vertical com comportamentos opostos dos lados.
  1. Assíntotas horizontais/obliquas: para x grande, use a forma simplificada válida fora das descontinuidades:
f(x)=\frac{x}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}.
Assim
\lim_{x\to\infty}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=1.
Portanto existe uma assíntota horizontal:
y=1.
Não há assíntota oblíqua adicional, já que o comportamento assintótico é horizontal.
  1. Buraco (descontinuidade removível): como notado, em x=1 tanto numerador quanto denominador anulam; usando a forma simplificada, o limite é
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}.
Como f(1) não está definida, existe um buraco no ponto \left(1,\dfrac{1}{3}\right).
Resumo das assíntotas e descontinuidades: assíntota vertical x=-2, assíntota horizontal y=1, e buraco em \left(1,\dfrac{1}{3}\right).

Passo 11

Esboço qualitativo do gráfico (descrição dos pontos-chave e comportamento). Pontos e comportamentos importantes para desenhar:
  • Domínio: (-\infty,-2),(-2,1),(1,\infty).
  • Buraco em \left(1,\dfrac{1}{3}\right) (não está no gráfico).
  • Assíntota vertical: x=-2 com \lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty.
  • Assíntota horizontal: y=1 quando x\to\pm\infty.
  • Interseção com o eixo y: f(0)=0, então passa por (0,0).
  • Função é estritamente crescente em cada componente do domínio.
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-2); côncava para baixo em (-2,1) e em (1,\infty).
  • Sem extremos locais e sem pontos de inflexão no domínio.
Como desenhar: à esquerda de x=-2 a curva sobe (côncava para cima) indo para +\infty ao aproximar -2 pela esquerda e aproximando y=1 quando x\to-\infty. Entre -2 e 1 a curva vem de -\infty em -2^+, passa por (0,0), continua crescente e concava para baixo até chegar a x\to1^- próximo de 1/3. Em x=1 há um buraco em y=1/3. Para x>1 a curva retoma pouco acima desse buraco (valor efetivo pela expressão simplificada), continua crescente e côncava para baixo, aproximando y=1 quando x\to\infty. Isso é suficiente para um esboço razoável de prova/exame.

Resposta

(a) \text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,1\}.
(b) f'(x)=\dfrac{2}{(x+2)^{2}} (valendo para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}).
(c) Não existem números críticos.
(d) f é estritamente crescente em (-\infty,-2),\;(-2,1),\;(1,\infty). Não há intervalos de decrescimento.
(e) Não existem extremos locais.
(f) f é côncava para cima em (-\infty,-2) e côncava para baixo em (-2,1)\cup(1,\infty).
(g) Não existem pontos de inflexão no domínio de f.
(h) Assíntota vertical: x=-2. Assíntota horizontal: y=1. Há um buraco (descontinuidade removível) em \left(1,\dfrac{1}{3}\right).
(i) Esboço qualitativo: curva crescente em cada componente do domínio, com comportamento descrito no passo 11 (assíntotas x=-2, y=1, passa por (0,0), buraco em (1,1/3), concavidade conforme (f)).

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