Questão 4. Considere a função
. Mostre que existe um ponto
tal que
e exiba um intervalo que contenha esse ponto
. Justifique
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Mostrar que existe um ponto
tal que . - Exibir um intervalo que contenha esse ponto
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
: .
Passo 2
Idea principal que vou usar (explicação didática): muitas vezes, para provar que uma função atinge um valor, basta mostrar que ela é contínua e que, em dois pontos, toma valores com sinais opostos. A intuição é: se a função passa de negativo para positivo, em algum lugar entre esses pontos ela teve que cruzar o zero. Agora explico com cuidado o que significa cada coisa.
O que é continuidade (de forma simples)? Uma função
é contínua num ponto
se, ao aproximar
de
,
se aproxima de
. Para polinômios (como
aqui), vale o fato clássico: soma, produto e potência de funções contínuas são contínuas, e funções polinomiais são contínuas em toda parte. Portanto
é contínua para todo
.
Passo 3
Enunciado do teorema que vamos aplicar (explicado passo a passo): Teorema do Valor Intermediário (TVI).
- Se uma função
é contínua num intervalo fechado e e têm sinais diferentes (ou seja, ), então existe pelo menos um ponto tal que . - Interpretação: continuidade + troca de sinal implicam existência de raiz entre
e .
Vou aplicar esse teorema à função
. Já vimos que
é contínua em todo
, então basta encontrar
e
com
.
Passo 4
Calcular valores de
em pontos simples para procurar troca de sinal. Faço contas passo a passo (sem pular etapas):
Calcule
:
Calcule
:
Observação dos sinais:
-
. -
.
Como
, há troca de sinal entre
e
.
Passo 5
Aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário:
é contínua em
e
. Logo, existe pelo menos um ponto
tal que
. Isso prova a existência do ponto pedido e fornece o intervalo
que o contém.
Passo 6
(Um reforço didático — unicidade da raiz e refinamento do intervalo) Para ajudar na intuição sobre quantas raízes existem e para melhorar o intervalo, observe a monotonicidade de
.
Calcule a derivada
:
Note que
para todo
, então
para todo
. Assim
é estritamente crescente em toda a reta, o que implica que
pode ter no máximo uma raiz. Combinando com a existência obtida pelo TVI, concluímos que essa raiz é única.
Podemos ainda refinar o intervalo por bisseção rápida (útil na prova se quiser um intervalo menor): calcule
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Como
e
, existe
com
. Esse é um intervalo mais estreito que também contém a raiz única.
Resposta
Existe
tal que
.\n
Um intervalo mais estreito que contém é
.
Um intervalo mais estreito que contém