Questão 4. Considere a função f(x)=x^{3}+2 x-5. Mostre que existe um ponto c tal que f\text{(c)}=0 e exiba um intervalo que contenha esse ponto c. Justifique

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}+2x-5 e pede duas coisas:
  • Mostrar que existe um ponto c tal que f\text{(c)}=0.
  • Exibir um intervalo que contenha esse ponto c.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f: f(x)=x^{3}+2x-5.

Passo 2

Idea principal que vou usar (explicação didática): muitas vezes, para provar que uma função atinge um valor, basta mostrar que ela é contínua e que, em dois pontos, toma valores com sinais opostos. A intuição é: se a função passa de negativo para positivo, em algum lugar entre esses pontos ela teve que cruzar o zero. Agora explico com cuidado o que significa cada coisa.
O que é continuidade (de forma simples)? Uma função g é contínua num ponto a se, ao aproximar x de a, g(x) se aproxima de g(a). Para polinômios (como f aqui), vale o fato clássico: soma, produto e potência de funções contínuas são contínuas, e funções polinomiais são contínuas em toda parte. Portanto f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Enunciado do teorema que vamos aplicar (explicado passo a passo): Teorema do Valor Intermediário (TVI).
  • Se uma função g é contínua num intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais diferentes (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
  • Interpretação: continuidade + troca de sinal implicam existência de raiz entre a e b.
Vou aplicar esse teorema à função f. Já vimos que f é contínua em todo \mathbb{R}, então basta encontrar a e b com f(a)\cdot f(b)<0.

Passo 4

Calcular valores de f em pontos simples para procurar troca de sinal. Faço contas passo a passo (sem pular etapas):
Calcule \,f(1):
f(1)=1^{3}+2\cdot1-5=1+2-5= -2.
Calcule \,f(2):
f(2)=2^{3}+2\cdot2-5=8+4-5=7.
Observação dos sinais:
  • \,f(1)=-2<0.
  • \,f(2)=7>0.
Como \,f(1)\cdot f(2) = (-2)\cdot 7 = -14<0, há troca de sinal entre x=1 e x=2.

Passo 5

Aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário: f é contínua em [1,2] e f(1)\cdot f(2)<0. Logo, existe pelo menos um ponto c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Isso prova a existência do ponto pedido e fornece o intervalo (1,2) que o contém.

Passo 6

(Um reforço didático — unicidade da raiz e refinamento do intervalo) Para ajudar na intuição sobre quantas raízes existem e para melhorar o intervalo, observe a monotonicidade de f.
Calcule a derivada \,f'(x):
f'(x)=3x^{2}+2.
Note que 3x^{2}\ge0 para todo x, então f'(x)=3x^{2}+2\ge2>0 para todo x. Assim f é estritamente crescente em toda a reta, o que implica que f pode ter no máximo uma raiz. Combinando com a existência obtida pelo TVI, concluímos que essa raiz é única.
Podemos ainda refinar o intervalo por bisseção rápida (útil na prova se quiser um intervalo menor): calcule \,f(1,5) e \,f(1,25).
Calcule \,f(1,5):
f(1,5)= (1,5)^{3}+2\cdot(1,5)-5 = 3,375 + 3 - 5 = 1,375>0.
Calcule \,f(1,25):
f(1,25)= (1,25)^{3}+2\cdot(1,25)-5 = 1,953125 + 2,5 - 5 = -0,546875<0.
Como \,f(1,25)<0 e \,f(1,5)>0, existe c\in(1,25;1,5) com f\text{(c)}=0. Esse é um intervalo mais estreito que também contém a raiz única.

Resposta

Existe c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0.\n
Um intervalo mais estreito que contém c é (1,25;1,5).

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