Questão 1 (2.5)

Considere
I=\int_{0}^{2} \frac{e^{-x}}{x+1} d x
a) Estime I usando a regra do trapézio com n=3 subintervalos.
b) Quantos pontos seriam necessários para que a regra de Simpson composta atingisse precisiōo melhor que 10^{-8} ? Use a fórmula do erro
E=-\frac{(b-a)^{5}}{180 n^{4}} f^{(4)}(\xi)
considerando \left|f^{(4)}(x)\right| \leq 100.
c) Transforme a integral para o intervalo [-1,1] e aplique quadratura gaussiana com 3 pontos. Use:
x_{1}=-\sqrt{\frac{3}{5}}, \quad x_{2}=0, \quad x_{3}=\sqrt{\frac{3}{5}}, \quad w_{1}=\frac{5}{9}, w_{2}=\frac{9}{9}, w_{3}=\frac{1}{9}
d) Explique por que a quadratura gaussiana é considerada mais eficiente em termos de número
e) Como se deduzem as fórmulas de Newton-Cotes? Descreva o processo de forma resumida. avaliações de função.

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{0}^{2}\frac{e^{-x}}{x+1}\,dx
e pede cinco coisas:
  1. (a) Estimar I pela regra do trapézio composta com n=3 subintervalos.
  2. (b) Determinar quantos pontos (subintervalos/avaliações) seriam necessários para que a regra de Simpson composta alcance precisão melhor que 10^{-8}, usando a fórmula do erro
E=-\frac{(b-a)^{5}}{180\, n^{4}} f^{(4)}(\xi)
e a estimativa \left|f^{(4)}(x)\right|\le 100.
3. (c) Transformar a integral para o intervalo [-1,1] e aplicar quadratura gaussiana com 3 pontos usando os nós
x_{1}=-\sqrt{\frac{3}{5}},\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=\sqrt{\frac{3}{5}}
e os pesos apropriados da quadratura de 3 pontos.
4. (d) Explicar por que a quadratura gaussiana é mais eficiente em termos do número de avaliações de função.
5. (e) Descrever resumidamente como se deduzem as fórmulas de Newton–Cotes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Intervalo de integração: [0,2].
  • Para (a): usar regra do trapézio composta com n=3 (logo h=(2-0)/3).
  • Para (b): usar a fórmula do erro dada e a cota \left|f^{(4)}(x)\right|\le 100.
  • Para (c): usar transformação linear para [-1,1] e aplicar quadratura gaussiana de 3 pontos com os nós fornecidos (usar os pesos padrão do 3‑pontos Gauss–Legendre).
    A partir daqui começamos a resolver passo a passo.

Passo 2

(a) Regra do trapézio composta — revisão rápida da fórmula e aplicação passo a passo.
Conceito e fórmula:
  • Dividimos [a,b]=[0,2] em n=3 subintervalos iguais. O passo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{3}.
  • Os nós são
x_0=0,\quad x_1=\frac{2}{3},\quad x_2=\frac{4}{3},\quad x_3=2.
  • A regra do trapézio composta diz
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)+f(x_n)\Big).
Aqui f(x)=\dfrac{e^{-x}}{x+1}. Vou calcular f em cada nó com precisão razoável e em seguida aplicar a fórmula.
Cálculo dos valores:
f(0)=\frac{e^{0}}{0+1}=1.
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{e^{-2/3}}{1+\tfrac{2}{3}}=\frac{e^{-2/3}}{\tfrac{5}{3}}=\frac{3}{5}e^{-2/3}.
Numericamente, usando e^{-2/3}\approx 0{,}513417119,
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 0{,}308050271.
f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=\frac{e^{-4/3}}{1+\tfrac{4}{3}}=\frac{e^{-4/3}}{\tfrac{7}{3}}=\frac{3}{7}e^{-4/3}.
Numericamente, usando e^{-4/3}\approx 0{,}263597138,
f\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0{,}112999611.
f(2)=\frac{e^{-2}}{3}\approx\frac{0{,}135335283}{3}=0{,}045111761.
Aplicando a regra do trapézio composta:
T_3=\frac{h}{2}\big(f(0)+2[f(2/3)+f(4/3)]+f(2)\big),\quad h=\frac{2}{3}.
Como \dfrac{h}{2}=\dfrac{1}{3}, temos
T_3=\frac{1}{3}\big(1 + 2(0{,}308050271+0{,}112999611)+0{,}045111761\big).
Calcule o somatório interno:
1 + 2(0{,}421049882)+0{,}045111761 = 1 + 0{,}842099764 + 0{,}045111761 = 1{,}887211525.
Então
T_3=\frac{1{,}887211525}{3}\approx 0{,}629070508.
Interpretação: usando a regra do trapézio composta com n=3 obtemos a estimativa aproximada
\boxed{I\approx 0{,}629070508.}

Passo 3

(b) Determinar n para a regra de Simpson composta atingir erro menor que 10^{-8}.
Relembrando a fórmula do enunciado (erro da regra de Simpson composta):
E=-\frac{(b-a)^{5}}{180\, n^{4}} f^{(4)}(\xi),
onde n é o número de subintervalos (na regra de Simpson composta n deve ser par). Com a cota \left|f^{(4)}(x)\right|\le 100 temos
|E|\le \frac{(b-a)^{5}}{180\, n^{4}}\; \max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)| \le \frac{(b-a)^{5}}{180\, n^{4}}\cdot 100.
Aqui a=0, b=2, logo (b-a)=2 e (b-a)^5=2^5=32. Substituindo:
|E|\le \frac{32\cdot 100}{180\, n^{4}}=\frac{3200}{180\, n^{4}}=\frac{160}{9}\frac{1}{n^{4}}.
Queremos |E|<10^{-8}, portanto
\frac{160}{9}\frac{1}{n^{4}} < 10^{-8}
ou seja
n^{4} > \frac{160}{9}\cdot 10^{8}=\frac{160\cdot 10^{8}}{9}.
Numérico:
\frac{160}{9}\approx 17{,}7777778,\quad \text{então}\quad n^{4} > 1{,}77777778\times 10^{9}.ã
Tomando raiz quarta:
n > \big(1{,}77777778\times 10^{9}\big)^{1/4}\approx 205{,}366\ldots
Como n deve ser um inteiro e, para Simpson composto, um número par de subintervalos, tomamos o menor n par que excede esse valor:
n=206\quad(\text{subintervalos}).
Se a pergunta pedir também o número de pontos de avaliação (nós), o número de pontos é n+1=207.
Comentário didático: Simpson composta requer n par porque aplica o polinômio de grau 2 em pares de subintervalos; portanto ajustamos para o menor n par que satisfaz a desigualdade.

Passo 4

(c) Transformar a integral para [-1,1] e aplicar quadratura gaussiana de 3 pontos.
Transformação linear entre [0,2] e [-1,1]:
  • Escrevemos x em função de t\in[-1,1] pela fórmula afin:
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t.
Aqui a=0, b=2, logo \dfrac{a+b}{2}=1 e \dfrac{b-a}{2}=1. Assim
x=1+t,\qquad dx=dt.
Portanto
I=\int_{0}^{2}\frac{e^{-x}}{x+1}\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{e^{-(1+t)}}{(1+t)+1}\,dt=\int_{-1}^{1} \frac{e^{-1}e^{-t}}{2+t}\,dt.
Para aplicar a quadratura de Gauss de 3 pontos usamos a aproximação
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{3} w_i\, g(t_i),
com os nós (dados)
t_1=-\sqrt{\tfrac{3}{5}},\quad t_2=0,\quad t_3=+\sqrt{\tfrac{3}{5}}.
Observação sobre pesos: os pesos padrão da quadratura de Gauss–Legendre com 3 nós são
w_1=\frac{5}{9},\quad w_2=\frac{8}{9},\quad w_3=\frac{5}{9}.
(esses são os pesos que garantem exatidão para polinômios de grau até 2\cdot 3-1=5.)
Definimos g(t)=f(1+t)=\dfrac{e^{-(1+t)}}{2+t}. Calculamos g(t_i)=f(1+t_i) nos três nós e formamos a soma ponderada.
Cálculo dos pontos transformados ( x=1+t):
x_1=1+t_1=1-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0{,}2254033308,
x_2=1+t_2=1,
x_3=1+t_3=1+\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 1{,}7745966692.
Avaliação de f(x)=\dfrac{e^{-x}}{x+1} nesses pontos:
f(x_1)=\frac{e^{-0{,}2254033308}}{0{,}2254033308+1}\approx 0{,}651600\quad(\text{cálculo mostrado abaixo}),á
f(x_2)=\frac{e^{-1}}{2}=0{,}183939721,
f(x_3)=\frac{e^{-1{,}7745966692}}{1{,}7745966692+1}\approx 0{,}061140.
(Notas rápidas sobre os cálculos numéricos: usei decomposição exponencial e aproximações por séries curtas para e^{-t} e divisão direta para obter os valores com precisão adequada para uso em quadratura.)
Aplicando a fórmula de Gauss (pesos 5/9,8/9,5/9):
I\approx \frac{5}{9}f(x_1)+\frac{8}{9}f(x_2)+\frac{5}{9}f(x_3).
Substituindo os valores numéricos:
I\approx \frac{5}{9}\cdot 0{,}651600 + \frac{8}{9}\cdot 0{,}183939721 + \frac{5}{9}\cdot 0{,}061140.
Calcule cada termo:
\frac{5}{9}\cdot 0{,}651600 \approx 0{,}362000,
\frac{8}{9}\cdot 0{,}183939721 \approx 0{,}16370196,
\frac{5}{9}\cdot 0{,}061140 \approx 0{,}0339667.
Somando:
I\approx 0{,}362000 + 0{,}16370196 + 0{,}0339667 \approx 0{,}5596687.
Resultado final da quadratura gaussiana de 3 pontos:
\boxed{I\approx 0{,}5596687.}

Passo 5

(d) Por que a quadratura gaussiana é mais eficiente (em termos do número de avaliações de função)?
Explicação didática e intuitiva:
  • A eficiência vem da chamada “grau de exatidão” da regra. Uma regra de integração numérica tem grau de exatidão m se ela integra exatamente todos os polinômios de grau até m.
  • Para n pontos de avaliação:
    • A quadratura de Gauss–Legendre com n pontos consegue integrar exatamente todos os polinômios de grau até 2n-1. Ou seja, grau de exatidão 2n-1.
    • Fórmulas Newton–Cotes fechadas com n pontos (por exemplo, trapézio, Simpson, etc.) tipicamente têm grau de exatidão apenas n-1 (Simpson com 3 pontos tem grau 3).
  • Conclusão prática: com o mesmo número n de avaliações da função, Gauss integra polinômios de grau muito mais alto de forma exata; para funções que são bem aproximadas por polinômios de grau relativamente baixo na região, Gauss dá muito mais precisão com menos pontos. Em outras palavras, Gauss “aproveita melhor” cada avaliação porque escolhe nós e pesos ótimos (relacionados a polinômios ortogonais, como os de Legendre) ao invés de obrigar os nós a serem equiespaçados.
Exemplo concreto: com 3 avaliações Gauss é exato para polinômios até grau 5, enquanto a regra de Simpson (também 3 avaliações) é exata apenas até grau 3. Por isso, na prática, Gauss costuma exigir muito menos nós para atingir uma dada precisão.

Passo 6

(e) Como se deduzem as fórmulas de Newton–Cotes? Descrição resumida e didática do processo.
Processo passo a passo:
  1. Escolha dos nós: para Newton–Cotes “fechadas” escolhemos nós igualmente espaçados incluindo os extremos do intervalo [a,b]: x_0=a,x_1,\dots,x_n=b (para as “abertas” os extremos não são usados).
  2. Interpolação polinomial: aproximamos a função f(x) por um polinômio interpolador p_n(x) de grau \le n que passa pelos pontos (x_i,f(x_i)). Uma forma prática de escrever p_n é usar as bases de Lagrange:
p_n(x)=\sum_{i=0}^{n} f(x_i)\, L_i(x),
onde L_i(x) é o polinômio de Lagrange que vale 1 em x_i e 0 em x_j para j\neq i.
3. Integração do polinômio: integramos exatamente p_n(x) no intervalo [a,b]:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b p_n(x)\,dx = \sum_{i=0}^n f(x_i)\underbrace{\int_a^b L_i(x)\,dx}_{=:w_i}.
Os coeficientes w_i obtidos são os pesos da fórmula de Newton–Cotes; eles são números que dependem apenas do grau n e do intervalo (na prática, para o intervalo padrão e nós equiespaçados, são tabelados).
4. Fórmula final: obtém‑se
\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i).
  1. Termo de erro: usando a forma do erro da interpolação (resto de Lagrange) e integrando o restante, obtém-se um termo de erro envolvendo derivadas de ordem n+1 de f; tipicamente, o erro é da forma
\text{erro} = C\,(b-a)^{\,n+2} f^{(n+1)}(\xi)
para algum \xi\in[a,b] e constante C dependente de n.
6. Versão composta: para reduzir o erro prático, divide‑se [a,b] em subintervalos e aplica‑se localmente a fórmula de Newton–Cotes em cada subintervalo (isso dá as versões compostas como trapézio composto, Simpson composta, etc.).
Resumo intuitivo: Newton–Cotes nasce da ideia simples “aproximo f por um polinômio que passa pelos pontos equiespaçados e integro esse polinômio exatamente”, e os pesos surgem das integrais das funções base de Lagrange.

Resposta

(a) I\approx 0{,}629070508.
(b) É necessário n=206 subintervalos (menor n par que satisfaz a cota); isto corresponde a 207 pontos de avaliação.
(c) Pela quadratura gaussiana de 3 pontos (nos t=\pm\sqrt{3/5},0 com pesos 5/9,8/9,5/9) obtemos
I\approx 0{,}5596687.
(d) A quadratura gaussiana é mais eficiente porque, com n avaliações, integra exatamente polinômios até grau 2n-1 (grau de exatidão maior), enquanto fórmulas Newton–Cotes com n pontos têm grau de exatidão tipicamente muito menor; assim Gauss alcança maior precisão com menos avaliações.
(e) Newton–Cotes é deduzida aproximando f por um polinômio interpolador em nós equiespaçados (Lagrange), integrando esse polinômio exatamente para obter pesos w_i=\int_a^b L_i(x)\,dx, e escrevendo \int_a^b f(x)\,dx\approx\sum w_i f(x_i); o termo de erro vem do resto da interpolação (envolve f^{(n+1)}(\xi)).

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