Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(10Pts)
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - É solicitado
, a derivada em termos de . - Deve-se observar o domínio: a divisão só faz sentido quando o denominador é diferente de zero, ou seja
. A derivada só pode ser avaliada onde a função está definida.
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente (quotient rule). Explico a regra com calma:
Se tivermos duas funções
e
e
, então a derivada é dada por
Aqui:
-
é o numerador; -
é o denominador; -
e são as derivadas de e , respectivamente.
A interpretação intuitiva: derivamos a razão combinando a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o quadrado do denominador. É a forma padrão para derivar frações.
Passo 3
Identificar
e
para a nossa função e calcular suas derivadas:
Derivando termo a termo (regra da potência:
):
Expliquei: a derivada de
é
; a derivada de
é
. A derivada de
é
; a constante
some.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo, sem pular etapas.
Calcule
:
Calcule
:
Subtraindo:
Agora combinamos termos semelhantes:
Passo 5
Substituindo o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:
Observação: o numerador
é um quadrado perfeito:
E o denominador pode ser fatorado também:
, então
Assim, podemos escrever
Algebricamente há uma possibilidade de cancelar
, obtendo uma forma mais simples:
porém é preciso ter cuidado com cancelamento: a igualdade após cancelar é válida apenas para valores de
onde não se dividiu por zero durante a simplificação. Como a função original não está definida em
(denominador zero), a derivada também não é definida nesses pontos. O cancelamento escondeu que em
havia uma indeterminação; portanto, ao usar a forma cancelada deve-se lembrar de excluir
do domínio.
Passo 6
Resumo final e interpretação prática para a hora da prova:
- Método: usei a regra do quociente, calculei derivadas do numerador e denominador, e simplifiquei cuidadosamente.
- Resultado em forma totalmente segura (sem cancelar fatores que podem ocultar pontos não definidos):
- Forma simplificada (útil para cálculos rápidos), lembrando de manter a restrição de domínio
: