Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(10Pts) f(x)=\frac{2 x^{2}-x}{4 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\frac{2x^{2}-x}{4x^{2}-1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador 2x^{2}-x e denominador 4x^{2}-1.
  • É solicitado f'(x), a derivada em termos de x.
  • Deve-se observar o domínio: a divisão só faz sentido quando o denominador é diferente de zero, ou seja x\neq \pm\frac{1}{2}. A derivada só pode ser avaliada onde a função está definida.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente (quotient rule). Explico a regra com calma:
Se tivermos duas funções u(x) e v(x) e g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então a derivada é dada por
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v, respectivamente.
    A interpretação intuitiva: derivamos a razão combinando a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o quadrado do denominador. É a forma padrão para derivar frações.

Passo 3

Identificar u e v para a nossa função e calcular suas derivadas:
u(x)=2x^{2}-x,\qquad v(x)=4x^{2}-1.
Derivando termo a termo (regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{2}-x)=4x-1,
v'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{2}-1)=8x.
Expliquei: a derivada de 2x^2 é 2\cdot 2x=4x; a derivada de -x é -1. A derivada de 4x^2 é 4\cdot 2x=8x; a constante -1 some.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} = \frac{(4x-1)(4x^{2}-1)-(2x^{2}-x)(8x)}{(4x^{2}-1)^{2}}.
Agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo, sem pular etapas.
Calcule (4x-1)(4x^{2}-1):
(4x-1)(4x^{2}-1)=4x\cdot(4x^{2}-1)-1\cdot(4x^{2}-1)=16x^{3}-4x-4x^{2}+1.
Calcule (2x^{2}-x)(8x):
(2x^{2}-x)(8x)=8x\cdot 2x^{2}-8x\cdot x=16x^{3}-8x^{2}.
Subtraindo:
(4x-1)(4x^{2}-1)-(2x^{2}-x)(8x) =(16x^{3}-4x^{2}-4x+1)-(16x^{3}-8x^{2}).
Agora combinamos termos semelhantes:
16x^{3}-4x^{2}-4x+1-16x^{3}+8x^{2}=( -4x^{2}+8x^{2})-4x+1=4x^{2}-4x+1.

Passo 5

Substituindo o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:
f'(x)=\frac{4x^{2}-4x+1}{(4x^{2}-1)^{2}}.
Observação: o numerador 4x^{2}-4x+1 é um quadrado perfeito:
4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}.
E o denominador pode ser fatorado também: 4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1), então
(4x^{2}-1)^{2}=(2x-1)^{2}(2x+1)^{2}.
Assim, podemos escrever
f'(x)=\frac{(2x-1)^{2}}{(2x-1)^{2}(2x+1)^{2}}.
Algebricamente há uma possibilidade de cancelar (2x-1)^{2}, obtendo uma forma mais simples:
f'(x)=\frac{1}{(2x+1)^{2}},
porém é preciso ter cuidado com cancelamento: a igualdade após cancelar é válida apenas para valores de x onde não se dividiu por zero durante a simplificação. Como a função original não está definida em x=\pm\frac{1}{2} (denominador zero), a derivada também não é definida nesses pontos. O cancelamento escondeu que em x=\frac{1}{2} havia uma indeterminação; portanto, ao usar a forma cancelada deve-se lembrar de excluir x=\pm\frac{1}{2} do domínio.

Passo 6

Resumo final e interpretação prática para a hora da prova:
  • Método: usei a regra do quociente, calculei derivadas do numerador e denominador, e simplifiquei cuidadosamente.
  • Resultado em forma totalmente segura (sem cancelar fatores que podem ocultar pontos não definidos):
f'(x)=\frac{4x^{2}-4x+1}{(4x^{2}-1)^{2}},\qquad x\neq \pm\frac{1}{2}.
  • Forma simplificada (útil para cálculos rápidos), lembrando de manter a restrição de domínio x\neq \pm\frac{1}{2}:
f'(x)=\frac{1}{(2x+1)^{2}},\qquad x\neq \pm\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{4x^{2}-4x+1}{(4x^{2}-1)^{2}},\quad x\neq\pm\frac{1}{2}

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