Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(10Pts)
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o produto de duas funções:
e . - A tarefa é calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Ela diz que, se
e
são diferenciáveis, então
Aqui
e
. Ou seja, para derivar um produto, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Identificamos as partes do produto:
Agora calculamos
. Para derivar uma exponencial de base
diferente de
usa-se a reescrita com
:
Aplicando a regra da cadeia (derivada de
é
), obtemos
Comentário rápido: aqui
é a constante natural do logaritmo de
; ela aparece porque a derivada do expoente
em relação a
é
.
Passo 4
Calculamos
. Derivamos termo a termo:
- A derivada de
é (regra do poder: ). - A derivada de
é (regra trigonométrica básica).
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que achamos:
Fatorando
(que é um fator comum em ambos os termos) para simplificar a expressão:
Essa forma é compacta e útil em prova porque mostra claramente o fator exponencial comum.