Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(10Pts) f(x)=2^{x}\left(x^{3}+\cos x\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f dada por
f(x)=2^{x}\bigl(x^{3}+\cos x\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de duas funções: 2^{x} e \bigl(x^{3}+\cos x\bigr).
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Ela diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui u'=\dfrac{d}{dx}u(x) e v'=\dfrac{d}{dx}v(x). Ou seja, para derivar um produto, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=2^{x},\qquad v(x)=x^{3}+\cos x.
Agora calculamos u'(x)=\dfrac{d}{dx}2^{x}. Para derivar uma exponencial de base a>0 diferente de e usa-se a reescrita com e:
2^{x}=e^{x\ln 2}.
Aplicando a regra da cadeia (derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x)), obtemos
u'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x\ln 2}=e^{x\ln 2}\cdot\ln 2=2^{x}\ln 2.
Comentário rápido: aqui \ln 2 é a constante natural do logaritmo de 2; ela aparece porque a derivada do expoente x\ln 2 em relação a x é \ln 2.

Passo 4

Calculamos v'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}+\cos x\bigr). Derivamos termo a termo:
  • A derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}).
  • A derivada de \cos x é -\sin x (regra trigonométrica básica).
    Portanto
v'(x)=3x^{2}-\sin x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que achamos:
f'(x)=\bigl(2^{x}\ln 2\bigr)\bigl(x^{3}+\cos x\bigr)+2^{x}\bigl(3x^{2}-\sin x\bigr).
Fatorando 2^{x} (que é um fator comum em ambos os termos) para simplificar a expressão:
f'(x)=2^{x}\Bigl(\ln 2\,(x^{3}+\cos x)+3x^{2}-\sin x\Bigr).
Essa forma é compacta e útil em prova porque mostra claramente o fator exponencial comum.

Resposta

f'(x)=2^{x}\Bigl(\ln 2\,(x^{3}+\cos x)+3x^{2}-\sin x\Bigr)

Exercícios relacionados