Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(10Pts)
(10Pts)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a sua derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma potência inteira elevada a
. - A base da potência é a expressão polinomial
.
Passo 2
Vou explicar a regra que vou usar (de forma didática, como se estivéssemos resolvendo isso na prova).
Regra da cadeia (forma útil aqui): se tivermos uma função composta da forma
, onde
é uma função diferenciável e
é um número inteiro, então a derivada é dada por
Aqui:
-
é a função interna (a “base” da potência). -
é o expoente. -
é a derivada da função interna.
Intuição simples: você “traz para frente” o expoente (isso é a regra do poder) e multiplica pela derivada da parte que estava dentro (isso é a cadeia).
Exemplo rápido e concreto para fixar: a derivada de
é
porque a derivada de
é
. Resultado final
.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: identifique a função interna
e o expoente
.
- Tome
. - O expoente é
.
Agora calcule a derivada da função interna
. Use regras básicas:
- Derivada de
é (regra do poder: ). - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Aplique a fórmula da cadeia:
Expliquei cada fator:
vem do expoente,
é a base elevada ao expoente menos um, e
é a derivada da base.
Passo 5
Vamos simplificar um pouco essa expressão para deixar mais bonita e prática na prova. Observe que
tem fator comum
:
Substituindo em
:
Multiplicando o escalar
por
dá
Então uma forma simplificada é
Passo 6
Comentário final e forma alternativa (opcional): como
, outra forma válida é
mas a forma mais direta e compacta que costuma aparecer na prova é a que apresentamos no passo anterior.
Força aí — essa é a conta padrão de regra da cadeia, feita com calma: identifica a interna, deriva-a, aplica
, simplifica.