Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(10Pts) f(x)=\left(3 x^{2}-2 x\right)^{2024}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\bigl(3x^{2}-2x\bigr)^{2024}\, e pede para determinar a sua derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma potência inteira elevada a 2024.
  • A base da potência é a expressão polinomial \,3x^{2}-2x.

Passo 2

Vou explicar a regra que vou usar (de forma didática, como se estivéssemos resolvendo isso na prova).
Regra da cadeia (forma útil aqui): se tivermos uma função composta da forma \,F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n}\,, onde u(x) é uma função diferenciável e n é um número inteiro, então a derivada é dada por
F'(x)=n\bigl(u(x)\bigr)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui:
  • \,u(x)\, é a função interna (a “base” da potência).
  • n é o expoente.
  • \,u'(x)\, é a derivada da função interna.
Intuição simples: você “traz para frente” o expoente (isso é a regra do poder) e multiplica pela derivada da parte que estava dentro (isso é a cadeia).
Exemplo rápido e concreto para fixar: a derivada de \,(2x+1)^3\, é
3(2x+1)^2\cdot (2),
porque a derivada de 2x+1 é 2. Resultado final =6(2x+1)^2.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: identifique a função interna u(x) e o expoente n.
  • Tome \,u(x)=3x^{2}-2x\,.
  • O expoente é \,n=2024.
Agora calcule a derivada da função interna u(x). Use regras básicas:
  • Derivada de \,3x^{2}\, é \,6x (regra do poder: 2\cdot3x^{2-1}=6x).
  • Derivada de \,-2x é -2.
    Portanto
u'(x)=6x-2.

Passo 4

Aplique a fórmula da cadeia:
f'(x)=2024\bigl(3x^{2}-2x\bigr)^{2023}\cdot(6x-2).
Expliquei cada fator: 2024 vem do expoente, \bigl(3x^{2}-2x\bigr)^{2023} é a base elevada ao expoente menos um, e (6x-2) é a derivada da base.

Passo 5

Vamos simplificar um pouco essa expressão para deixar mais bonita e prática na prova. Observe que (6x-2) tem fator comum 2:
6x-2=2(3x-1).
Substituindo em f'(x):
f'(x)=2024\bigl(3x^{2}-2x\bigr)^{2023}\cdot 2(3x-1).
Multiplicando o escalar 2024 por 2
2024\cdot 2 = 4048.
Então uma forma simplificada é
f'(x)=4048(3x-1)\bigl(3x^{2}-2x\bigr)^{2023}.

Passo 6

Comentário final e forma alternativa (opcional): como \,3x^{2}-2x = x(3x-2)\,, outra forma válida é
f'(x)=4048(3x-1)\,x^{2023}(3x-2)^{2023},
mas a forma mais direta e compacta que costuma aparecer na prova é a que apresentamos no passo anterior.
Força aí — essa é a conta padrão de regra da cadeia, feita com calma: identifica a interna, deriva-a, aplica n u^{n-1} u', simplifica.

Resposta

f'(x)=4048(3x-1)\bigl(3x^{2}-2x\bigr)^{2023}

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