Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(\mathbf{1 0 P t s}) f(x)=\operatorname{arctg}\left(\ln \left(x^{4}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\operatorname{arctg}\!\big(\ln\big(x^{4}\big)\big).
  • Precisamos calcular f'(x) e mencionar o domínio natural onde a derivada faz sentido (observar que x^{4}>0 para x\neq0, então a função está definida para x\neq0).
    A partir daqui vou desenvolver passo a passo como obter f'(x).

Passo 2

Ideia principal que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
\text{Se }F(x)=G(H(x))\text{, então }F'(x)=G'(H(x))\cdot H'(x).ã
Explicando em palavras: para derivar uma composição, derivamos a função externa G avaliando-a na função interna H(x), e multiplicamos pelo derivado da função interna H'(x). Um exemplo simples e intuitivo: a derivada de \sin(3x) é \cos(3x)\cdot 3 — aqui G(u)=\sin u e H(x)=3x.

Passo 3

Identificar as funções externa e interna na nossa f:
  • Função externa: G(u)=\operatorname{arctg}(u).
  • Função interna: H(x)=\ln\big(x^{4}\big).
    Portanto aplicaremos a regra da cadeia com u=H(x).

Passo 4

Derivado da função externa. A derivada da função \operatorname{arctg}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isto é uma fórmula padrão: a derivada do arco-tangente é 1/(1+u^{2}). Então, segundo a regra da cadeia, a contribuição da parte externa será \dfrac{1}{1+\big(H(x)\big)^{2}}.

Passo 5

Derivado da função interna. Vamos derivar H(x)=\ln\big(x^{4}\big).
Usando a regra da cadeia novamente ou propriedades dos logaritmos, note que
\ln\big(x^{4}\big)=4\ln|x|
para x\neq0 (porque x^{4}>0 e \ln(x^{4})=4\ln|x|). Derivando:
\frac{d}{dx}\ln\big(x^{4}\big)=\frac{d}{dx}\big(4\ln|x|\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\ln|x|=4\cdot\frac{1}{x}=\frac{4}{x},
válido para x\neq0.
Alternativamente, direto pela cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln(x^{4})=\dfrac{1}{x^{4}}\cdot 4x^{3}=\dfrac{4}{x}, mesmo resultado.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as duas partes:
f'(x)=\frac{1}{1+\big(\ln(x^{4})\big)^{2}}\cdot\frac{4}{x}.
Podemos escrever isso de forma mais compacta como
f'(x)=\frac{4}{x\big(1+\big(\ln(x^{4})\big)^{2}\big)}.
Usando \ln(x^{4})=4\ln|x| também podemos reescrever a forma simplificada
f'(x)=\frac{4}{x\big(1+16(\ln|x|)^{2}\big)}.
Lembre-se que todas as expressões valem para x\neq0, que é o domínio da função original.

Resposta

f'(x)=\frac{4}{x\big(1+\big(\ln(x^{4})\big)^{2}\big)}=\frac{4}{x\big(1+16(\ln|x|)^{2}\big)},\quad x\neq0

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