Questão 1: Determine as derivada das funções dadas a seguir:
(\mathbf{1 0 P t s}) f(x)=\operatorname{arctg}\left(\ln \left(x^{4}\right)\right)
(\mathbf{1 0 P t s}) f(x)=\operatorname{arctg}\left(\ln \left(x^{4}\right)\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função. Informações fornecidas:
- A função é
. - Precisamos calcular
e mencionar o domínio natural onde a derivada faz sentido (observar que para , então a função está definida para ).
A partir daqui vou desenvolver passo a passo como obter.
Passo 2
Ideia principal que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
Explicando em palavras: para derivar uma composição, derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
, e multiplicamos pelo derivado da função interna
. Um exemplo simples e intuitivo: a derivada de
é
— aqui
e
.
Passo 3
Identificar as funções externa e interna na nossa
:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Portanto aplicaremos a regra da cadeia com.
Passo 4
Derivado da função externa. A derivada da função
em relação a
é
Isto é uma fórmula padrão: a derivada do arco-tangente é
. Então, segundo a regra da cadeia, a contribuição da parte externa será
.
Passo 5
Derivado da função interna. Vamos derivar
.
Usando a regra da cadeia novamente ou propriedades dos logaritmos, note que
Usando a regra da cadeia novamente ou propriedades dos logaritmos, note que
para
(porque
e
). Derivando:
válido para
.
Alternativamente, direto pela cadeia: , mesmo resultado.
Alternativamente, direto pela cadeia:
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as duas partes:
Podemos escrever isso de forma mais compacta como
Usando
também podemos reescrever a forma simplificada
Lembre-se que todas as expressões valem para
, que é o domínio da função original.