Questão 3. Determine o limite a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[4+x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{e^{x}+\sqrt{x^{2}+1}}{x^{3}}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left[4 + x^{2}\sin\!\left(\frac{e^{x}+\sqrt{x^{2}+1}}{x^{3}}\right)\right].
Informações dadas:
  • A expressão é a soma de 4 com o produto x^{2} por \sin de uma função que envolve \dfrac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O que se precisa encontrar: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Separei a expressão em duas partes e vou estudar o comportamento de cada uma:
4 + x^{2}\sin\!\left(\frac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}\right).
A parte constante 4 é óbvia. O trabalho é mostrar que
\lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}\right)=0.
Para isso, primeiro observo o numerador dentro do seno:
e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}.
Como e^{x} e \sqrt{1+x^{2}} são funções contínuas, seus limites em 0 são e^{0}=1 e \sqrt{1+0}=1. Logo
\lim_{x\to 0}\bigl(e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)=1+1=2.

Passo 3

Agora analiso a fração \dfrac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}. Como o numerador tende a 2 (um número diferente de zero) e o denominador x^{3} tende a 0 quando x\to 0, o quociente tem módulo que tende a +\infty. Em outras palavras,
\left|\frac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}\right|\to +\infty\quad\text{quando }x\to 0.
Portanto o argumento do seno “vai para infinito” em módulo — isto é, a variável dentro de \sin oscila cada vez mais rápido quando x se aproxima de 0.

Passo 4

Aqui entra uma propriedade muito útil e simples da função seno: para todo número real t vale
-1 \le \sin t \le 1.
Multiplicando por x^{2}\ge 0 obtemos
-x^{2} \le x^{2}\sin\!\left(\frac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}\right) \le x^{2}.
Agora aplico o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como
\lim_{x\to 0}(-x^{2}) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} x^{2} = 0,
pela desigualdade acima segue que
\lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}\right) = 0.
Intuição rápida: mesmo que o \sin oscile sem limite, ele permanece entre -1 e 1; multiplicando por x^{2} (que vai para 0) anula-se essa oscilação no limite.

Passo 5

Finalmente, usando a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites (quando ambos existem), temos
\lim_{x\to 0}\left[4 + x^{2}\sin\!\left(\frac{e^{x}+\sqrt{1+x^{2}}}{x^{3}}\right)\right] = 4 + 0 = 4.
Se precisar, pense no exemplo simplificado \lim_{x\to 0} x^{2}\sin(1/x^{3})=0: é a mesma ideia — seno limitado por \pm 1, multiplicado por um fator que vai a zero.

Resposta

4

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