Questão 1. Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta.
Afirmação. A expressão
\int_{-2}^{-1} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\int_{-1}^{0} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{-\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\int_{-1}^{0} \int_{\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
pode ser escrita como uma única integral iterada em coordenadas polares.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a expressão
\int_{-2}^{-1} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{-1}^{0} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{-\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{-1}^{0} \int_{\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
pode ser escrita como uma única integral iterada em coordenadas polares.
Informações dadas (limites que aparecem nos integrais):
  • Primeiro integral: y varia em [-2,-1] e, para cada y nessa faixa, x varia de -\sqrt{4-y^{2}} a \sqrt{4-y^{2}}.
  • Segundo integral: y varia em [-1,0] e, para cada y nessa faixa, x varia de -\sqrt{4-y^{2}} a -\sqrt{1-y^{2}}.
  • Terceiro integral: y varia em [-1,0] e, para cada y nessa faixa, x varia de \sqrt{1-y^{2}} a \sqrt{4-y^{2}}.
  • A função genérica é f(x,y) (sem hipótese adicional), e a soma dos três integrais representa a integral de f sobre a união de três regiões no plano.

Passo 2

Descrever geometricamente cada contribuição (sem ainda usar polares).
  • Primeiro integral: para y\in[-2,-1] temos x\in[-\sqrt{4-y^{2}},\sqrt{4-y^{2}}]. A igualdade x^{2}+y^{2}=4 define o círculo de raio 2. Assim o primeiro termo corresponde à parte do disco de raio 2 cujo y satisfaz -2\le y\le-1. Em palavras: é a “faixa” inferior do disco de raio 2 entre as linhas y=-2 e y=-1.
  • Segundo integral: para y\in[-1,0] temos x entre -\sqrt{4-y^{2}} (a fronteira externa do círculo de raio 2) e -\sqrt{1-y^{2}} (a fronteira esquerda do círculo de raio 1). Isso é a parte à esquerda, para -\sqrt{4-y^{2}}\le x\le -\sqrt{1-y^{2}}, que fica entre o círculo de raio 2 e o círculo de raio 1 quando y está entre -1 e 0.
  • Terceiro integral: para y\in[-1,0] temos x entre \sqrt{1-y^{2}} e \sqrt{4-y^{2}}. Isso é a parte à direita, entre os círculos de raios 1 e 2, para y\in[-1,0].

Passo 3

Unir as três regiões e interpretar melhor a união.
Denote por D_1,D_2,D_3 as as regiões correspondentes aos três integrais. A união D=D_1\cup D_2\cup D_3 é:
  • Para y\in[-2,-1]: todos os pontos do disco de raio 2 com esse y (isto é, a parte inferior mais afundada do disco grande). Note que para esses y não existem pontos do disco de raio 1 (porque pontos no disco de raio 1 têm |y|\le 1), logo nessa faixa vertical não há buraco interno.
  • Para y\in[-1,0]: os pontos do disco de raio 2 que estão fora do disco de raio 1. Ou seja, entre as duas circunferências, tanto do lado esquerdo quanto do lado direito (os dois últimos integrais cobrem as duas “metades” laterais, deixando de fora a parte interna do disco de raio 1 com y\in[-1,0]).
Combinando as observações: a união é exatamente a região do plano que está entre os círculos de raio 1 e 2, mas apenas na metade inferior (onde y\le 0). Em termos de conjunto,
D=\{(x,y): 1\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 2,\\ \\ y\le 0\}.
Isto é, um “meia-anel” (meio anel circular): o setor anular com raio interior 1, raio exterior 2, e ângulo cobrindo a metade inferior do plano.

Passo 4

Passagem para coordenadas polares — revisão curta e didática.
Coordenadas polares: para cada ponto (x,y) define-se
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo (no sentido anti-horário). Ao trocar de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta) a área elementar transforma-se segundo o jacobiano: \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. É por isso que, ao escrever uma integral dupla em polares, aparece o fator extra r.
Significado das curvas em polares:
  • A equação x^{2}+y^{2}=a^{2} vira r^{2}=a^{2}, i.e. r=a (circunferência de raio a).
  • A condição y\le 0 corresponde a ângulos \theta com \theta\in[-\pi,0] (ou qualquer representação equivalente de um semicírculo inferior).

Passo 5

Determinar limites em polares para a região D.
Como concluímos em

Passo 6

1\le r\le 2,\qquad -\pi\le\theta\le 0.
Então qualquer ponto de D pode ser escrito como (r\cos\theta,r\sin\theta) com esses limites, e vice‑versa.

Passo 7

Escrever a integral única em coordenadas polares e comentar a forma do integrando.
A soma das três integrais é a integral da função f sobre D. Em coordenadas polares isso fica:
\int_{\theta=-\pi}^{0}\int_{r=1}^{2} f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Aqui explicando cada parte:
  • f(r\cos\theta,r\sin\theta) é a função f(x,y) reescrita em termos de (r,\theta).
  • O fator r vem do jacobiano da transformação de coordenadas.
  • Os limites internos r=1 a r=2 correspondem às duas circunferências de raios 1 e 2.
  • Os limites externos \theta=-\pi a \theta=0 cobrem a meia‑lua inferior (meia‑circunferência), isto é, y\le 0.

Passo 8

Cheque rápido por uma escolha simples de f (sanity check): se f\equiv 1 a integral deve dar a área de D. Em polares:
\int_{-\pi}^{0}\int_{1}^{2} 1\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \int_{-\pi}^{0}\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{1}^{2}\mathrm{d}\theta = \int_{-\pi}^{0}\tfrac{1}{2}(4-1)\,\mathrm{d}\theta = \tfrac{3}{2}\int_{-\pi}^{0}\mathrm{d}\theta = \tfrac{3}{2}\pi,
que é exatamente a área do semi‑anel de raios 1 e 2. Isso confirma que os limites escolhidos fazem sentido.

Resposta

Verdadeira

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