Questão 9. Dispõe-se de 120 bolas idênticas que devem ser empilhadas a fim de formar uma pirâmide regular triangular. Quantas bolas devem formar a base da pirâmide?
Passo 1
O enunciado diz que há
bolas idênticas que serão empilhadas formando uma pirâmide regular triangular. A pergunta é: quantas bolas devem formar a base da pirâmide?
Informações relevantes:
- Total de bolas disponíveis:
. - A pirâmide é “regular triangular”: isso significa que cada camada é um triângulo de bolas, a camada de cima tem 1 bola, a próxima tem um triângulo com 2 bolas por lado, depois 3 por lado, e assim por diante até a base com
bolas por lado. - Precisamos descobrir
(quantas bolas por lado da base). Também é útil saber quantas bolas há na camada da base (o número total de bolas nessa camada), que é diferente de .
Passo 2
Entender como contar as bolas camada a camada.
- A camada que tem
bolas por lado (um triângulo triangular de lado ) contém o número triangular
Explicando isso: um triângulo formado por bolas com
bolas na base tem linhas com
bolas; somando
obtém-se
. Aqui
é o número de bolas por lado (ou o número de linhas) dessa camada.
Passo 3
Somar as camadas para obter o total da pirâmide.
Se a base tem
bolas por lado, então o total de bolas na pirâmide é a soma dos triangulares das camadas de
até
:
Vamos transformar essa soma numa fórmula fechada. Primeiro escrevemos
Agora usamos duas fórmulas padrão (essas fórmulas vêm de somas conhecidas; uma breve explicação:
é a soma dos primeiros inteiros e
é a soma dos quadrados — ambas têm fórmulas fechadas que podem ser demonstradas por indução ou por manipulações algébricas):
Substituindo em
:
Passo 4
Simplificar a expressão para
.
Colocando em comum e simplificando:
Agora fatorando
de
:
Portanto a fórmula fechada é
Essa é a conhecida fórmula do número tetraédrico (soma dos triangulares).
Passo 5
Igualar ao total disponível e resolver para
.
Sabemos que o total deve ser
, então
Multiplicando ambos os lados por
:
Procuramos
inteiro positivo que satisfaça isso. Observando fatores de
, notamos que
Como
são três números consecutivos, corresponde exatamente a
(pois
). Assim
é solução. Pela monotonicidade da função em inteiros positivos, essa é a única solução inteira positiva.
Passo 6
Interpretar a resposta no contexto do problema.
- O valor
significa que a base da pirâmide deve ter bolas por lado — ou seja, a camada da base é um triângulo com lado . - Se quisermos saber quantas bolas estão na própria camada da base (o número total de bolas na base), calculamos o triangular
:
Portanto a camada inferior (a base) contém
bolas no total, dispostas em triângulo de lado
.
Resposta
8 (bolas por lado da base)
36 (bolas na camada da base)
36 (bolas na camada da base)