Questão 9. Dispõe-se de 120 bolas idênticas que devem ser empilhadas a fim de formar uma pirâmide regular triangular. Quantas bolas devem formar a base da pirâmide?

Passo 1

O enunciado diz que há \,120\, bolas idênticas que serão empilhadas formando uma pirâmide regular triangular. A pergunta é: quantas bolas devem formar a base da pirâmide?
Informações relevantes:
  • Total de bolas disponíveis: \,120\,.
  • A pirâmide é “regular triangular”: isso significa que cada camada é um triângulo de bolas, a camada de cima tem 1 bola, a próxima tem um triângulo com 2 bolas por lado, depois 3 por lado, e assim por diante até a base com n bolas por lado.
  • Precisamos descobrir n (quantas bolas por lado da base). Também é útil saber quantas bolas há na camada da base (o número total de bolas nessa camada), que é diferente de n.

Passo 2

Entender como contar as bolas camada a camada.
  • A camada que tem k bolas por lado (um triângulo triangular de lado k) contém o número triangular
T_k=\frac{k(k+1)}{2}.
Explicando isso: um triângulo formado por bolas com k bolas na base tem linhas com 1,2,\dots,k bolas; somando 1+2+\cdots+k obtém-se \dfrac{k(k+1)}{2}. Aqui k é o número de bolas por lado (ou o número de linhas) dessa camada.

Passo 3

Somar as camadas para obter o total da pirâmide.
Se a base tem n bolas por lado, então o total de bolas na pirâmide é a soma dos triangulares das camadas de k=1 até k=n:
S_n=\sum_{k=1}^{n} T_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)}{2}.
Vamos transformar essa soma numa fórmula fechada. Primeiro escrevemos
S_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^2+k\bigr)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k\right).
Agora usamos duas fórmulas padrão (essas fórmulas vêm de somas conhecidas; uma breve explicação: \sum k é a soma dos primeiros inteiros e \sum k^2 é a soma dos quadrados — ambas têm fórmulas fechadas que podem ser demonstradas por indução ou por manipulações algébricas):
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Substituindo em S_n:
S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right).

Passo 4

Simplificar a expressão para S_n.
Colocando em comum e simplificando:
S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3n(n+1)}{6}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)\bigl(2n+1+3\bigr)}{6} =\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}.
Agora fatorando 2 de (2n+4):
S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)\cdot 2(n+2)}{6} =\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.
Portanto a fórmula fechada é
S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.
Essa é a conhecida fórmula do número tetraédrico (soma dos triangulares).

Passo 5

Igualar ao total disponível e resolver para n.
Sabemos que o total deve ser \,120, então
\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=120.
Multiplicando ambos os lados por 6:
n(n+1)(n+2)=720.
Procuramos n inteiro positivo que satisfaça isso. Observando fatores de 720, notamos que
8\cdot 9\cdot 10=720.
Como 8,9,10 são três números consecutivos, corresponde exatamente a n=8 (pois n(n+1)(n+2)=8\cdot9\cdot10). Assim n=8 é solução. Pela monotonicidade da função em inteiros positivos, essa é a única solução inteira positiva.

Passo 6

Interpretar a resposta no contexto do problema.
  • O valor n=8 significa que a base da pirâmide deve ter 8 bolas por lado — ou seja, a camada da base é um triângulo com lado 8.
  • Se quisermos saber quantas bolas estão na própria camada da base (o número total de bolas na base), calculamos o triangular T_8:
T_8=\frac{8\cdot 9}{2}=36.
Portanto a camada inferior (a base) contém 36 bolas no total, dispostas em triângulo de lado 8.

Resposta

8 (bolas por lado da base)
36 (bolas na camada da base)

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