Questão 3) O elemento de aço A992 ( \mathrm{fy}=345 \mathrm{MPa} ; \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} ) pode ser considerada apoiada por pinos nas partes superior e inferior e reforçada em seu eixo mais fraco a meia altura. Determine a máxima força P que o elemento pode suportar sem flambagem. Considere CS =2 para a flambagem.
Use \mathrm{A}=7.4(10-3) \mathrm{m} 2, \mathrm{Ix}=87.3(10-6) \mathrm{m} 4 e \mathrm{Iy}=18.8(10-6) \mathrm{m} 4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a máxima força P que o elemento pode suportar sem flambagem, considerando coeficiente de segurança para flambagem CS=2.
Informações fornecidas (valores numéricos que vêm do enunciado e da figura):
  • Aço A992: \mathrm{f_y}=345\\ \mathrm{MPa} e \mathrm{E}=200\\ \mathrm{GPa}.
  • Área da seção: A=7{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Momentos de inércia: I_x=87{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4 e I_y=18{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
  • Apoiado por pinos nas partes superior e inferior (ou seja, condições de extremidade pino-pino).
  • A peça é reforçada em seu eixo mais fraco a meia altura (peguei essa informação da imagem — há um apoio lateral/rigidez ao deslocamento lateral em metade do comprimento).
O enunciado não exige método específico, então vamos usar a teoria de flambagem de Euler para colunas esbeltas (porque a peça é longa: comprimentos na ordem de metros e temos momentos de inércia e E), calcular as cargas críticas de Euler para as duas direções principais e, em seguida, aplicar CS=2. Também devemos verificar se a carga de escoamento A\cdot f_y é menor que a carga admissível por flambagem (para ver qual fenômeno governa).

Passo 2

Revisão didática: fórmula de Euler para carga crítica de flambagem
  • A fórmula de Euler (para uma barra elástica esbelta, sem imperfeições grandes) é
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
Expliquei cada termo:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (em N).
  • \pi é a constante pi ( \approx 3{,}1416).
  • E é o módulo de elasticidade do material (em Pa).
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem considerado (em \mathrm{m}^4).
  • L é o comprimento total da coluna (em \mathrm{m}).
  • K é o fator de comprimento efetivo (adimensional) que depende das condições de contorno; o produto K L é chamado de comprimento efetivo ( L_e). Para as condições mais comuns:
    • pino–pino: K=1 (logo L_e=L);
    • pino–engastado, engastado–engastado etc. (há outros valores).
  • Se há apoios intermediários que impedem deslocamento lateral em pontos internos (como um apoio lateral a meia altura que impede deslocamento lateral), a coluna pode ser tratada como segmentos mais curtos. Um apoio que impede deslocamento lateral na meia altura transforma a coluna (para aquela direção) em duas colunas pino–pino de comprimento L/2, ou seja, L_e=L/2 (se o apoio não impede rotação, apenas deslocamento lateral).
Observação prática: devemos calcular P_{cr} para flambagem em torno dos dois eixos principais (usando I_x e I_y), porque a barra pode flambear no eixo que produzir a menor carga crítica. Depois aplicamos CS dividindo P_{cr,min} por CS para obter a carga admissível contra flambagem. Também comparamos com a carga de escoamento estático \,A\cdot f_y.

Passo 3

Determinar comprimentos efetivos para cada eixo (uso explícito da informação da imagem)
  • Da imagem (peguei da figura): a coluna tem dois trechos de 6\\ \mathrm{m} cada (ou seja, comprimento total 6\\ \mathrm{m}+6\\ \mathrm{m}). Portanto
L = 12\\ \mathrm{m}.
  • A coluna está apoiada por pinos nas extremidades superior e inferior (portanto, sem encastramento das extremidades).
  • A coluna é reforçada/tem um apoio lateral a meia altura apenas no eixo mais fraco — isso significa que, para flambagem nesse eixo fraco, a coluna comporta-se como duas sub-colunas pino–pino de comprimento L/2. Assim:
    • Para o eixo em que existe o apoio a meia altura (eixo mais fraco, associado a I_y): comprimento efetivo
    L_{e,y} = \frac{L}{2}=6\\ \mathrm{m}.
    • Para o outro eixo (sem apoio intermediário, associado a I_x): as extremidades são pino–pino, logo
    L_{e,x}=L=12\\ \mathrm{m}.
Justificação sucinta (didática): um apoio lateral que impede o deslocamento lateral no ponto médio divide a coluna em dois comprimentos livres para flambagem; cada segmento, com extremidades que permitem rotação (pinos), tem K=1 e comprimento L/2.

Passo 4

Calcular as cargas críticas de Euler para cada direção
Dados convertidos para unidades SI:
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \quad I_x=87{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4, \quad I_y=18{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4.
Cálculo do fator \pi^{2} \approx 9{,}8696.
  1. Flambagem no eixo correspondente a I_x (sem apoio a meia altura):
P_{cr,x}=\frac{\pi^{2} E I_x}{(L_{e,x})^{2}}=\frac{\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(87{,}3\times10^{-6})}{(12)^{2}}.
Vamos calcular passo a passo:
E I_x = 200\times10^{9}\times87{,}3\times10^{-6}=200\cdot87{,}3\cdot10^{3}=17\,460{,}0\times10^{3}=17{,}460{,}000.
\pi^{2} E I_x \approx 9{,}8696\times17{,}460{,}000 \approx 172{,}324{,}000.
(L_{e,x})^{2}=(12)^{2}=144.
P_{cr,x}\approx\frac{172{,}324{,}000}{144}\approx1{,}196{,}694\\ \mathrm{N}\approx1{,}20\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
  1. Flambagem no eixo correspondente a I_y (com apoio a meia altura, portanto L_{e,y}=6\\ \mathrm{m}):
P_{cr,y}=\frac{\pi^{2} E I_y}{(L_{e,y})^{2}}=\frac{\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(18{,}8\times10^{-6})}{(6)^{2}}.
Passo a passo:
E I_y = 200\times10^{9}\times18{,}8\times10^{-6}=200\cdot18{,}8\cdot10^{3}=3{,}760{,}000.
\pi^{2} E I_y \approx 9{,}8696\times3{,}760{,}000 \approx 37{,}128{,}000.
(L_{e,y})^{2}=(6)^{2}=36.
P_{cr,y}\approx\frac{37{,}128{,}000}{36}\approx1{,}031{,}333\\ \mathrm{N}\approx1{,}03\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Comparação:
P_{cr,x}\approx1{,}197\times10^{6}\\ \mathrm{N},\qquad P_{cr,y}\approx1{,}031\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
A menor carga crítica (a que governa a flambagem) é
P_{cr,\min}=P_{cr,y}\approx1{,}031\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Aplicar o coeficiente de segurança para flambagem e comparar com escoamento
  • A carga admissível por flambagem (considerando CS=2) é
P_{adm,\text{flamb}}=\frac{P_{cr,\min}}{CS}=\frac{1{,}031\times10^{6}}{2}=5{,}155\times10^{5}\\ \mathrm{N}\approx5{,}16\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
  • Verificar escoamento: carga de escoamento pura (se a peça trabalhasse sem flambagem) seria
P_{yield}=A\cdot f_y = (7{,}4\times10^{-3})\cdot(345\times10^{6}) = 7{,}4\times345\times10^{3}=2{,}553\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Ou seja,
P_{yield}\approx2{,}553\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Comparação final:
P_{adm,\text{flamb}} \approx 5{,}16\times10^{5}\\ \mathrm{N} \quad\text{e}\quad P_{yield}\approx2{,}55\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Como P_{adm,\text{flamb}} < P_{yield}, a flambagem controla e a máxima força permitida sem flambagem (considerando CS=2) é P_{adm,\text{flamb}}.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova
  • Resultado numérico: a coluna flambeará primeiro pela direção associada a I_y mesmo com o apoio a meia altura, porque I_y é bem menor que I_x.
  • Em prova: sempre calcule as duas flambagens principais (duas direções) — a menor delas é a que importa; lembre-se de ajustar o comprimento efetivo quando houver armaduras/apoios intermediários.
  • Se alguém perguntar por que não usamos um fator K diferente: aqui cada segmento considerado tem extremidades que permitem rotação (pino–pino), então para cada segmento K=1. A brace na meia altura só reduz o comprimento efetivo para aquela direção.

Resposta

P_{\max}=5{,}16\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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