Questão 2. Encontre todos os ângulos \alpha tais que os conjuntos
\mathrm{S}=\{\operatorname{sen} \alpha, \operatorname{sen} 2 \alpha, \operatorname{sen} 3 \alpha\} e \mathrm{T}=\{\cos \alpha, \cos 2 \alpha, \cos 3 \alpha\} sejam iguais.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
\mathrm{S}=\{\sin\alpha,\;\sin2\alpha,\;\sin3\alpha\}, \qquad \mathrm{T}=\{\cos\alpha,\;\cos2\alpha,\;\cos3\alpha\},
e pede todos os ângulos \alpha tais que \mathrm{S}=\mathrm{T} (igualdade como conjuntos, isto é, os mesmos elementos, possivelmente em ordem diferente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os elementos de \mathrm{S} são os senos de \alpha,2\alpha,3\alpha.
  • Os elementos de \mathrm{T} são os cossenos de \alpha,2\alpha,3\alpha.
  • Procurar todos \alpha (valores gerais, podemos usar n\in\mathbb{Z} para periodos).

Passo 2

Primeiro uso uma consequência simples de \mathrm{S}=\mathrm{T}: as somas dos elementos são iguais. Vou calcular as duas somas e igualá-las. Antes, lembro duas identidades úteis e explico rápido como usá-las:
  • Identidade para soma de senos: \sin x+\sin y=2\sin\!\big(\tfrac{x+y}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{x-y}{2}\big).
  • Identidade para soma de cossenos: \cos x+\cos y=2\cos\!\big(\tfrac{x+y}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{x-y}{2}\big).
Calcule \sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha. Primeiro \sin\alpha+\sin3\alpha usando a identidade:
\sin\alpha+\sin3\alpha=2\sin\!\big(\tfrac{\alpha+3\alpha}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{\alpha-3\alpha}{2}\big) =2\sin(2\alpha)\cos(-\alpha)=2\sin2\alpha\cos\alpha.
Logo
\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha=\;2\sin2\alpha\cos\alpha+\sin2\alpha =\sin2\alpha\big(2\cos\alpha+1\big).
Agora \cos\alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha. Primeiro \cos\alpha+\cos3\alpha:
\cos\alpha+\cos3\alpha=2\cos\!\big(\tfrac{\alpha+3\alpha}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{\alpha-3\alpha}{2}\big) =2\cos(2\alpha)\cos\alpha.
Logo
\cos\alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha=\;2\cos2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha =\cos2\alpha\big(2\cos\alpha+1\big).
Como \mathrm{S}=\mathrm{T}, as somas são iguais, então
\sin2\alpha\big(2\cos\alpha+1\big)=\cos2\alpha\big(2\cos\alpha+1\big).
Isto implica a fatoração
\big(2\cos\alpha+1\big)\big(\sin2\alpha-\cos2\alpha\big)=0.
Portanto temos duas possibilidades iniciais:
\text{(i)}\quad 2\cos\alpha+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha=-\tfrac{1}{2},
ou
\text{(ii)}\quad \sin2\alpha=\cos2\alpha \quad\Longrightarrow\quad \tan2\alpha=1.

Passo 3

As somas iguais não garantem sozinhas que os conjuntos sejam iguais; porém outro fato que vale quando os conjuntos coincidem é que a soma dos quadrados dos elementos também coincide. Vou usar isso para obter mais informações.
Calculo a soma dos quadrados \sin^2\alpha+\sin^2 2\alpha+\sin^2 3\alpha e igualo à soma dos quadrados dos cossenos. Uso a identidade \cos^2 x=\tfrac{1+\cos2x}{2} (e análogo para \sin^2 x=\tfrac{1-\cos2x}{2}, mas vou trabalhar com cossenos para simplificar):
Primeiro, \sum_{k=1}^3\cos^2(k\alpha)=\tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^3\big(1+\cos(2k\alpha)\big) =\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}\big(\cos2\alpha+\cos4\alpha+\cos6\alpha\big).
Igualando \sum\sin^2=\sum\cos^2 e usando que \sin^2+\cos^2=1 para cada termo, concluímos que
\cos2\alpha+\cos4\alpha+\cos6\alpha=0.
Agora uso a fórmula \cos X+\cos Y=2\cos\!\big(\tfrac{X+Y}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{X-Y}{2}\big) para agrupar \cos2\alpha+\cos6\alpha:
\cos2\alpha+\cos6\alpha = 2\cos4\alpha\cos(-2\alpha)=2\cos4\alpha\cos2\alpha.
Então
\cos2\alpha+\cos4\alpha+\cos6\alpha = 2\cos4\alpha\cos2\alpha+\cos4\alpha =\cos4\alpha\big(2\cos2\alpha+1\big).
Portanto a soma dos quadrados iguala zero implica
\cos4\alpha\big(2\cos2\alpha+1\big)=0,
ou seja, ou
\text{(A)}\quad \cos4\alpha=0,
ou
\text{(B)}\quad \cos2\alpha=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora combino as possibilidades obtidas nos passos 2 e 3. Das possibilidades iniciais tínhamos (i) \cos\alpha=-\tfrac{1}{2} ou (ii) \sin2\alpha=\cos2\alpha. Das segundas condições (A)/(B) temos \cos4\alpha=0 ou \cos2\alpha=-\tfrac{1}{2}.
Analiso as combinações:
  • Se escolhermos (ii) \sin2\alpha=\cos2\alpha, então 2\alpha\equiv\tfrac{\pi}{4}\pmod{\pi}. Isso dá 4\alpha\equiv\tfrac{\pi}{2}\pmod{2\pi}, portanto \cos4\alpha=0. Assim (ii) implica (A). A combinação (ii) \,\wedge\,(B) seria \sin2\alpha=\cos2\alpha e \cos2\alpha=-\tfrac{1}{2} simultaneamente, o que é impossível (porque \sin^2 2\alpha+\cos^2 2\alpha=1 contradiz \cos^2 2\alpha=\tfrac{1}{4} se \sin2\alpha=\cos2\alpha). Logo, a opção (ii) é compatível e conduz a \cos4\alpha=0.
  • Se escolhermos (i) \cos\alpha=-\tfrac{1}{2}, então calculo as funções para ver se a igualdade de conjuntos pode ocorrer. Com \cos\alpha=-\tfrac{1}{2} temos (usando identidades básicas):
    \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\big(\tfrac{1}{4}\big)-1=-\tfrac{1}{2},
    e
    \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-\sin\alpha.
    Então
    \mathrm{S}=\{\sin\alpha,\;-\sin\alpha,\;0\} \qquad(\text{pois }\sin3\alpha=0\text{ neste caso}),
    enquanto
    \mathrm{T}=\{\,-\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2},\,1\} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{T}=\{-\tfrac{1}{2},\,1\}\\ \text{(como conjunto)}.
    Os conjuntos \mathrm{S} e \mathrm{T} não podem ser iguais: os elementos de \mathrm{S} têm um zero e um número com valor absoluto \tfrac{\sqrt{3}}{2} (pois |\sin\alpha|=\tfrac{\sqrt{3}}{2} quando \cos\alpha=-\tfrac{1}{2}), que não aparecem em \mathrm{T}. Outra maneira rápida de ver a falha: o produto \sin\alpha\sin2\alpha\sin3\alpha=0 enquanto \cos\alpha\cos2\alpha\cos3\alpha=\tfrac{1}{4}\neq0. Portanto a opção (i) é descartada.
Concluímos que a única possibilidade sobrevivente é (ii): \sin2\alpha=\cos2\alpha.

Passo 5

Resolvo \sin2\alpha=\cos2\alpha. Isso é equivalente a
\tan2\alpha=1 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha=\tfrac{\pi}{4}+n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto
\alpha=\tfrac{\pi}{8}+n\cdot\tfrac{\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Resta mostrar que esses \alpha funcionam de fato (não é só condição necessária). Para \alpha=\tfrac{\pi}{8}+n\tfrac{\pi}{2} temos 4\alpha=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n, portanto
\pi/2 - k\alpha = 4\alpha - k\alpha = (4-k)\alpha \quad\text{(igualdade sem resto múltiplo de }2\pi\text{)},ú
para k=1,2,3. Então, usando \cos k\alpha=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}-k\alpha\big),
\cos k\alpha=\sin\big((4-k)\alpha\big).
Isso diz que cada cosseno \cos k\alpha coincide com algum seno da lista \{\sin\alpha,\sin2\alpha,\sin3\alpha\} (especificamente \cos\alpha=\sin3\alpha,\\ \cos2\alpha=\sin2\alpha,\\ \cos3\alpha=\sin\alpha), de modo que os conjuntos realmente coincidem. Logo todos esses \alpha são soluções.

Resposta

\displaystyle \alpha=\tfrac{\pi}{8}+n\cdot\tfrac{\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}

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