Questão 2. Encontre todos os ângulos
tais que os conjuntos
e
sejam iguais.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e pede todos os ângulos
tais que
(igualdade como conjuntos, isto é, os mesmos elementos, possivelmente em ordem diferente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os elementos de
são os senos de . - Os elementos de
são os cossenos de . - Procurar todos
(valores gerais, podemos usar para periodos).
Passo 2
Primeiro uso uma consequência simples de
: as somas dos elementos são iguais. Vou calcular as duas somas e igualá-las. Antes, lembro duas identidades úteis e explico rápido como usá-las:
- Identidade para soma de senos:
. - Identidade para soma de cossenos:
.
Calcule
. Primeiro
usando a identidade:
Logo
Agora
. Primeiro
:
Logo
Como
, as somas são iguais, então
Isto implica a fatoração
Portanto temos duas possibilidades iniciais:
ou
Passo 3
As somas iguais não garantem sozinhas que os conjuntos sejam iguais; porém outro fato que vale quando os conjuntos coincidem é que a soma dos quadrados dos elementos também coincide. Vou usar isso para obter mais informações.
Calculo a soma dos quadrados
e igualo à soma dos quadrados dos cossenos. Uso a identidade
(e análogo para
, mas vou trabalhar com cossenos para simplificar):
Primeiro,
Igualando
e usando que
para cada termo, concluímos que
Agora uso a fórmula
para agrupar
:
Então
Portanto a soma dos quadrados iguala zero implica
ou seja, ou
ou
Passo 4
Agora combino as possibilidades obtidas nos passos 2 e 3. Das possibilidades iniciais tínhamos (i)
ou (ii)
. Das segundas condições (A)/(B) temos
ou
.
Analiso as combinações:
-
Se escolhermos (ii)
, então . Isso dá , portanto . Assim (ii) implica (A). A combinação (ii) seria e simultaneamente, o que é impossível (porque contradiz se ). Logo, a opção (ii) é compatível e conduz a . -
Se escolhermos (i)
, então calculo as funções para ver se a igualdade de conjuntos pode ocorrer. Com temos (usando identidades básicas): eEntãoenquantoOs conjuntose não podem ser iguais: os elementos de têm um zero e um número com valor absoluto (pois quando ), que não aparecem em . Outra maneira rápida de ver a falha: o produto enquanto . Portanto a opção (i) é descartada.
Concluímos que a única possibilidade sobrevivente é (ii):
.
Passo 5
Resolvo
. Isso é equivalente a
Portanto
Resta mostrar que esses
funcionam de fato (não é só condição necessária). Para
temos
, portanto
para
. Então, usando
,
Isso diz que cada cosseno
coincide com algum seno da lista
(especificamente
), de modo que os conjuntos realmente coincidem. Logo todos esses
são soluções.