Na análise de vibrações, os autovalores de uma matriz representam as frequências naturais do sistema. A instabilidade ou ressonância é estudada através do polinômio característico, onde o determinante da matriz (A - λI) deve ser zero.
Considere a matriz de rigidez e massa combinada \boldsymbol{M} :
Tarefa: Encontre os valores de \boldsymbol{\lambda} que satisfazem a condição \boldsymbol{\operatorname { d e t }} \boldsymbol{(} \boldsymbol{M} \boldsymbol{)} \boldsymbol{=} \mathbf{0}. Estes valores representam os pontos onde o sistema entra em regime de vibração natural.
Passo 1
O enunciado pede os valores de \lambda tais que \operatorname{det}(M)=0. A matriz (ou, como está escrita, o determinante) que temos é a seguinte — peguei todos os coeficientes do enunciado:
O elemento da primeira linha e primeira coluna é 6-\lambda.
Os elementos fora da diagonal são 4 (primeira linha segunda coluna e segunda linha primeira coluna).
O elemento da segunda linha e segunda coluna é 6-\lambda.
Objetivo: encontrar todos os \lambda que fazem o determinante igual a zero.]
Passo 2
Regra prática para determinante de matriz 2\times2: se
A=\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(A)=ad-bc.
Explicação rápida e intuitiva: multiplica-se os elementos da diagonal principal a e d e subtrai-se o produto dos elementos da outra diagonal b e c. Essa é a fórmula que vamos aplicar.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=d=6-\lambda, b=c=4, obtemos o polinômio característico (o determinante em função de \lambda):
\det(M)=(6-\lambda)(6-\lambda)-4\cdot4.
Colocando em forma mais compacta:
\det(M)=(6-\lambda)^2-16.
Passo 4
Impondo a condição pedida \det(M)=0, resolvemos a equação:
(6-\lambda)^2-16=0.
Isolando o quadrado:
(6-\lambda)^2=16.
Agora tiramos raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades, + e -):
6-\lambda= \pm 4.
Passo 5
Resolver as duas possibilidades separadamente:
Se 6-\lambda=4, então\lambda=6-4=2.
Se 6-\lambda=-4, então\lambda=6-(-4)=6+4=10.
Verificação rápida (plugando de volta na expressão do determinante):
(6-2)^2-16=4^2-16=16-16=0,
(6-10)^2-16=(-4)^2-16=16-16=0,
ambos satisfazem a condição.
Passo 6
Interpretação final curta (útil para a prova): os valores \lambda=2 e \lambda=10 são as raízes do polinômio característico, ou seja, os autovalores do problema. Como são distintos, correspondem a dois modos naturais diferentes do sistema.