Questão 5: Um fabricante de relógios pode produzir um determinado modelo a um custo de R \ 15,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for deáçóx reais, então o número de relógios vendidos por semana será dado pela expressãoãúóáã125-x$.
b) A partir da expressão obtida no item anterior, determine o preço de venda de cada relógio em função do custo total.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • O custo de produção por unidade é \,R\$15{,}00\, (ou seja, custo unitário c_u=15).
  • Se o preço de venda por relógio for \,x reais, o número de relógios vendidos por semana é \,125-x.
    A pergunta do item (b) é: determinar o preço de venda de cada relógio \,x em função do custo total (ou seja, escrever \,x em termos do custo total).

Passo 2

Definindo as quantidades e a relação entre elas:
  • Seja \,x o preço de venda por relógio (em reais).
  • A quantidade vendida é \,q=125-x.
  • O custo total (denotado por \,C) é o custo por unidade vezes a quantidade produzida/vendida.
    Portanto, por definição de custo total,
C = c_u \cdot q.
Substituindo c_u=15 e q=125-x obtemos a expressão que liga custo total e preço:
C = 15(125-x).

Passo 3

Agora vamos isolar \,x na equação \,C = 15(125-x). Faço passo a passo:
C = 15(125-x)
Primeiro multiplicar 15 em 125:
C = 1875 - 15x.
Isolando o termo com \,x:
15x = 1875 - C.
Dividindo ambos os lados por 15:
x = \frac{1875 - C}{15}.
Podemos simplificar a fração separando:
x = 125 - \frac{C}{15}.

Passo 4

Interpretação e domínio (importante para a prova):
  • A fórmula \,x = 125 - \dfrac{C}{15} é a expressão do preço em função do custo total.
  • Deve-se observar os valores possíveis de \,C. Como a quantidade vendida é \,125-x\ge0, tem-se x\le125. Além disso, x\ge0 (preço não negativo). Pela relação C=15(125-x), esses extremos correspondem a:
    • Se x=0 então C=15\cdot125=1875.
    • Se x=125 então C=15\cdot0=0.
      Logo o custo total varia em [0,1875] e a expressão é válida para \,0\le C\le1875.
      Exemplo numérico rápido: se C=750 então
x=125-\frac{750}{15}=125-50=75,
ou seja, preço \,R\$75{,}00.

Resposta

x = 125 - \dfrac{C}{15}
0 \le C \le 1875

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