Questão 5: Um fabricante de relógios pode produzir um determinado modelo a um custo de
15,00
x
125-x$.
c) Relacione a expressão encontrada no item anterior com a noção de função inversa.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei os dados do enunciado):
- Dado: o número de relógios vendidos por semana quando o preço é
reais é dado por . - Pergunta (item c): relacionar a expressão (obtida no item anterior — que é a expressão da demanda) com a noção de função inversa.
Ou seja: explicar como a função preço→quantidade se relaciona com a função inversa quantidade→preço e o que isso significa.
Passo 2
Colocar a função em notação clara e definir domínio/imagem (passo necessário antes de falar em inversa).
- Definimos a função demanda
por
onde
é o preço (em reais) e
é a quantidade vendida (em unidades).
- Observação sobre domínio e imagem: para que a quantidade faça sentido não negativa exige-se
, isto é . Também faz sentido considerar . Portanto um domínio razoável é
e a imagem (valores possíveis de quantidade) também fica
Passo 3
O que é função inversa — explicação didática e simples.
- Definição prática: a inversa de uma função
é outra função que “desfaz” . Formalmente, para todo no domínio adequado vale
- Como achar a inversa na prática (método passo a passo): tomar
, trocar os nomes ( por e por ) e resolver para . O resultado é .
Passo 4
Aplicar o método à função
.
- Começo escrevendo
- Troco
e :
- Agora resolvo para
: subtraio de ambos os lados e multiplico por (ou simplesmente observo)
- Conclusão algébrica: a inversa é
Passo 5
Verificação por composição (para confirmar que achamos a inversa correta).
- Calculo
:
- Como
para todo no domínio, isso confirma que é sua própria inversa. Funções com essa propriedade são chamadas de involutivas.
Passo 6
Interpretação econômica e exemplos concretos (para você usar na prova).
- Interpretação: a inversa dá, para uma quantidade desejada
, qual preço produz exatamente essa quantidade. Aqui
ou seja, se se deseja vender
relógios por semana, deve-se fixar o preço em
reais (assumindo que o modelo linear vale nessa faixa). Exemplo: para vender
unidades, o preço deve ser
reais.
- Observação sobre domínio: como a imagem de
é , só faz sentido pedir para .
Passo 7
Comentário geral e ligação com outras funções lineares (dica útil para a prova).
- Regra rápida: para uma função linear
com a inversa é . No caso e obtemos
o que explica porque a nossa função é involutiva: toda função do tipo
satisfaz
.