Questão 5: Um fabricante de relógios pode produzir um determinado modelo a um custo de R \ 15,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for deáçóx reais, então o número de relógios vendidos por semana será dado pela expressãoãúóáã125-x$.
c) Relacione a expressão encontrada no item anterior com a noção de função inversa.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (peguei os dados do enunciado):
  • Dado: o número de relógios vendidos por semana quando o preço é x reais é dado por 125-x.
  • Pergunta (item c): relacionar a expressão (obtida no item anterior — que é a expressão da demanda) com a noção de função inversa.
    Ou seja: explicar como a função preço→quantidade se relaciona com a função inversa quantidade→preço e o que isso significa.

Passo 2

Colocar a função em notação clara e definir domínio/imagem (passo necessário antes de falar em inversa).
  • Definimos a função demanda f por
f(x)=125-x,
onde x é o preço (em reais) e f(x) é a quantidade vendida (em unidades).
  • Observação sobre domínio e imagem: para que a quantidade faça sentido não negativa exige-se 125-x\ge 0, isto é x\le 125. Também faz sentido considerar x\ge 0. Portanto um domínio razoável é
D_f=[0,125],
e a imagem (valores possíveis de quantidade) também fica
\mathrm{Im}(f)=[0,125].

Passo 3

O que é função inversa — explicação didática e simples.
  • Definição prática: a inversa de uma função f é outra função f^{-1} que “desfaz” f. Formalmente, para todo x no domínio adequado vale
f^{-1}(f(x))=x\quad\text{e}\quad f(f^{-1}(x))=x.
  • Como achar a inversa na prática (método passo a passo): tomar y=f(x), trocar os nomes ( x por y e y por x) e resolver para y. O resultado é y=f^{-1}(x).

Passo 4

Aplicar o método à função f(x)=125-x.
  • Começo escrevendo
y=125-x.
  • Troco x e y:
x=125-y.
  • Agora resolvo para y: subtraio 125 de ambos os lados e multiplico por -1 (ou simplesmente observo)
y=125-x.
  • Conclusão algébrica: a inversa é
f^{-1}(x)=125-x.

Passo 5

Verificação por composição (para confirmar que achamos a inversa correta).
  • Calculo f(f(x)):
f(f(x))=f(125-x)=125-(125-x)=x.
  • Como f(f(x))=x para todo x no domínio, isso confirma que f é sua própria inversa. Funções com essa propriedade são chamadas de involutivas.

Passo 6

Interpretação econômica e exemplos concretos (para você usar na prova).
  • Interpretação: a inversa dá, para uma quantidade desejada q, qual preço x produz exatamente essa quantidade. Aqui
f^{-1}(q)=125-q,
ou seja, se se deseja vender q relógios por semana, deve-se fixar o preço em 125-q reais (assumindo que o modelo linear vale nessa faixa). Exemplo: para vender 50 unidades, o preço deve ser 125-50=75 reais.
  • Observação sobre domínio: como a imagem de f é [0,125], só faz sentido pedir f^{-1}(q) para q\in[0,125].

Passo 7

Comentário geral e ligação com outras funções lineares (dica útil para a prova).
  • Regra rápida: para uma função linear f(x)=ax+b com a\neq0 a inversa é f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}. No caso a=-1 e b=125 obtemos
f^{-1}(x)=\frac{x-125}{-1}=125-x,
o que explica porque a nossa função é involutiva: toda função do tipo f(x)=-x+b satisfaz f^{-1}=f.

Resposta

f^{-1}(x)=125-x — a função demanda é sua própria inversa (involutiva); interpretando economicamente, para vender q unidades o preço deve ser 125-q reais (com q\in[0,125]).

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