Questão 8 (IME - 74/75). A soma dos 50 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 200 e a soma dos 50 seguintes é igual a 2700 . Calcule a razão da progressão e o seu primeiro termo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados extraídos do enunciado:
  • A soma dos primeiros 50 termos é S_{50}=200.
  • A soma dos 50 termos seguintes (ou seja, dos termos de 51 a 100) é 2700. Isso significa que
S_{100}-S_{50}=2700.
Perguntas do enunciado:
  • Calcular a razão da progressão aritmética.
  • Calcular o primeiro termo da progressão aritmética.
Definirei as incógnitas para trabalhar com elas:
  • Seja a o primeiro termo da progressão.
  • Seja r a razão da progressão.

Passo 2

Apresentar e explicar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética e de onde ela vem.
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por
S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a+(n-1)r\bigr).
Explicação didática e derivação curta (passo a passo): a soma dos n primeiros termos é
S_n=a+(a+r)+(a+2r)+\cdots+(a+(n-1)r).
Escrevendo a soma na ordem inversa e somando termo a termo, obtemos duas vezes a soma:
\begin{aligned} S_n &= a+(a+r)+\cdots+(a+(n-1)r),\\\ S_n &= (a+(n-1)r)+\cdots+(a+r)+a. \end{aligned}
Somando as duas expressões termo a termo cada par dá 2a+(n-1)r, e há n pares, então
2S_n = n\bigl(2a+(n-1)r\bigr),
daí dividindo por 2 vem a fórmula indicada. Aqui:
  • S_n é a soma dos n primeiros termos;
  • a é o primeiro termo;
  • r é a razão;
  • n é o número de termos somados.

Passo 3

Usar a fórmula para n=50. Substituindo n=50 na fórmula:
S_{50}=\frac{50}{2}\bigl(2a+(50-1)r\bigr)=25\bigl(2a+49r\bigr).
Pelo enunciado temos S_{50}=200. Logo obtemos a equação
25\bigl(2a+49r\bigr)=200.
Dividindo ambos os lados por 25 simplificamos:
2a+49r=8.
Esta é a primeira equação linear em a e r.

Passo 4

Determinar S_{100} a partir da informação sobre os 50 termos seguintes. Do enunciado:
S_{100}-S_{50}=2700.
Como S_{50}=200, segue
S_{100}=2700+S_{50}=2700+200=2900.
Agora aplicar a fórmula para n=100:
S_{100}=\frac{100}{2}\bigl(2a+(100-1)r\bigr)=50\bigl(2a+99r\bigr).
Igualando ao valor encontrado:
50\bigl(2a+99r\bigr)=2900.
Dividindo por 50 obtemos a segunda equação:
2a+99r=58.

Passo 5

Resolver o sistema formado pelas duas equações lineares:
\begin{cases} 2a+49r=8,\\[4pt] 2a+99r=58. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar a:
(2a+99r)-(2a+49r)=58-8.
Isso dá
50r=50.
Logo
r=1.
Portanto a razão da progressão é r=1.]

Passo 6

Determinar o primeiro termo a substituindo r=1 em uma das equações (uso a primeira):
2a+49\cdot 1=8 \quad\Rightarrow\quad 2a+49=8.
Isolando a:
2a=8-49=-41,
a=-\frac{41}{2}.
Em forma decimal com vírgula conforme convém no português: a=-20{,}5.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): com a=-\dfrac{41}{2} e r=1,
2a+49r=-41+49=8 \Rightarrow S_{50}=25\cdot 8=200,
2a+99r=-41+99=58 \Rightarrow S_{100}=50\cdot 58=2900,
portanto S_{100}-S_{50}=2900-200=2700, que conferem com os dados do enunciado. Boa! Está tudo consistente.

Resposta

Razão: r=1
Primeiro termo: a=-\dfrac{41}{2}=-20{,}5

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