Questão 8 (IME - 74/75). A soma dos 50 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 200 e a soma dos 50 seguintes é igual a 2700 . Calcule a razão da progressão e o seu primeiro termo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados extraídos do enunciado:
- A soma dos primeiros 50 termos é
. - A soma dos 50 termos seguintes (ou seja, dos termos de 51 a 100) é
. Isso significa que
Perguntas do enunciado:
- Calcular a razão da progressão aritmética.
- Calcular o primeiro termo da progressão aritmética.
Definirei as incógnitas para trabalhar com elas:
- Seja
o primeiro termo da progressão. - Seja
a razão da progressão.
Passo 2
Apresentar e explicar a fórmula da soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética e de onde ela vem.
A soma dos
primeiros termos de uma PA é dada por
Explicação didática e derivação curta (passo a passo): a soma dos
primeiros termos é
Escrevendo a soma na ordem inversa e somando termo a termo, obtemos duas vezes a soma:
Somando as duas expressões termo a termo cada par dá
, e há
pares, então
daí dividindo por
vem a fórmula indicada. Aqui:
-
é a soma dos primeiros termos; -
é o primeiro termo; -
é a razão; -
é o número de termos somados.
Passo 3
Usar a fórmula para
. Substituindo
na fórmula:
Pelo enunciado temos
. Logo obtemos a equação
Dividindo ambos os lados por
simplificamos:
Esta é a primeira equação linear em
e
.
Passo 4
Determinar
a partir da informação sobre os 50 termos seguintes. Do enunciado:
Como
, segue
Agora aplicar a fórmula para
:
Igualando ao valor encontrado:
Dividindo por
obtemos a segunda equação:
Passo 5
Resolver o sistema formado pelas duas equações lineares:
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Isso dá
Logo
Portanto a razão da progressão é
.]
Passo 6
Determinar o primeiro termo
substituindo
em uma das equações (uso a primeira):
Isolando
:
Em forma decimal com vírgula conforme convém no português:
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): com
e
,
portanto
, que conferem com os dados do enunciado. Boa! Está tudo consistente.
Resposta
Razão:
Primeiro termo:
Primeiro termo: