Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente. \mathbf{F}(x, y)=\left(\ln y+2 x y^{3}\right) \mathbf{i}+\left(3 x^{2} y^{2}+x / y\right) \mathbf{j}
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(\underbrace{\ln y + 2xy^{3}}_{P(x,y)}\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(\underbrace{3x^{2}y^{2}+\tfrac{x}{y}}_{Q(x,y)}\bigr)\,\mathbf{j}.
O que pede:
Verificar se o campo é conservativo.
Se for conservativo, encontrar uma função potencial que o represente.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As componentes são P(x,y)=\ln y + 2xy^{3} e Q(x,y)=3x^{2}y^{2}+\dfrac{x}{y}.
Observe que aparecem \ln y e \dfrac{x}{y}, então a fórmula só faz sentido quando y>0. Portanto o domínio natural onde \mathbf{F} está definida é \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y>0\}.
Passo 2
Critério usado e por quê (explicação didática):
Um campo \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} definido em um domínio aberto e simplesmente conexo é conservativo se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, isto é, se
em todo o domínio, supondo que as derivadas parciais sejam contínuas.
Intuição curta: isso garante que existe uma função \varphi(x,y) tal que \phi_x=P e \phi_y=Q.
No nosso caso o domínio y>0 é aberto e simplesmente conexo (metade superior do plano), e P,Q têm derivadas parciais contínuas lá (soma de polinômios e funções suaves como \ln y e 1/y em y>0). Logo podemos aplicar o critério das derivadas cruzadas.
Exemplo rápido e prático (para lembrar a ideia): se \phi_x=2x então integrando em x obtemos \varphi=x^2+g(y) — aparece uma função de y porque ao integrar em x tratamos y como constante. Depois impomos \phi_y igual à componente Q para achar g.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais cruzadas explicitamente, mostrando cada termo:
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=\ln y + 2x y^{3},
são idênticas para todo (x,y) com y>0. Portanto, pelo critério das derivadas cruzadas num domínio aberto e simplesmente conexo, o campo \mathbf{F} é conservativo no domínio y>0.
Passo 5
Agora encontramos a função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=P e \phi_y=Q.
Começamos integrando \phi_x=P em relação a x, tratando y como constante:
\phi_x=\ln y + 2x y^{3}\quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int\!\bigl(\ln y + 2x y^{3}\bigr)\,dx.
Integração termo a termo:
\int \ln y\,dx = x\ln y porque \ln y é constante em relação a x.