Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
\mathbf{F}(x, y)=\left(\ln y+2 x y^{3}\right) \mathbf{i}+\left(3 x^{2} y^{2}+x / y\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(\underbrace{\ln y + 2xy^{3}}_{P(x,y)}\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(\underbrace{3x^{2}y^{2}+\tfrac{x}{y}}_{Q(x,y)}\bigr)\,\mathbf{j}.
O que pede:
  • Verificar se o campo é conservativo.
  • Se for conservativo, encontrar uma função potencial que o represente.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As componentes são P(x,y)=\ln y + 2xy^{3} e Q(x,y)=3x^{2}y^{2}+\dfrac{x}{y}.
  • Observe que aparecem \ln y e \dfrac{x}{y}, então a fórmula só faz sentido quando y>0. Portanto o domínio natural onde \mathbf{F} está definida é \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y>0\}.

Passo 2

Critério usado e por quê (explicação didática):
  • Um campo \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} definido em um domínio aberto e simplesmente conexo é conservativo se as derivadas parciais cruzadas forem iguais, isto é, se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo o domínio, supondo que as derivadas parciais sejam contínuas.
  • Intuição curta: isso garante que existe uma função \varphi(x,y) tal que \phi_x=P e \phi_y=Q.
  • No nosso caso o domínio y>0 é aberto e simplesmente conexo (metade superior do plano), e P,Q têm derivadas parciais contínuas lá (soma de polinômios e funções suaves como \ln y e 1/y em y>0). Logo podemos aplicar o critério das derivadas cruzadas.
Exemplo rápido e prático (para lembrar a ideia): se \phi_x=2x então integrando em x obtemos \varphi=x^2+g(y) — aparece uma função de y porque ao integrar em x tratamos y como constante. Depois impomos \phi_y igual à componente Q para achar g.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais cruzadas explicitamente, mostrando cada termo:
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=\ln y + 2x y^{3},
\frac{\partial}{\partial y}(\ln y)=\frac{1}{y}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(2x y^{3})=2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}.
Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y}+6x y^{2}.
Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=3x^{2}y^{2}+\dfrac{x}{y},
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2})=6x y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y},
pois y é tratado como constante na derivação por x. Assim
\frac{\partial Q}{\partial x}=6x y^{2}+\frac{1}{y}.

Passo 4

Comparando os resultados obtidos:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y}+6x y^{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=6x y^{2}+\frac{1}{y},
são idênticas para todo (x,y) com y>0. Portanto, pelo critério das derivadas cruzadas num domínio aberto e simplesmente conexo, o campo \mathbf{F} é conservativo no domínio y>0.

Passo 5

Agora encontramos a função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=P e \phi_y=Q.
Começamos integrando \phi_x=P em relação a x, tratando y como constante:
\phi_x=\ln y + 2x y^{3}\quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int\!\bigl(\ln y + 2x y^{3}\bigr)\,dx.
Integração termo a termo:
  • \int \ln y\,dx = x\ln y porque \ln y é constante em relação a x.
  • \int 2x y^{3}\,dx = y^{3}\int 2x\,dx = y^{3}\cdot x^{2} = x^{2}y^{3}.
Adiciona-se uma função arbitrária de y, digamos g(y). Assim
\varphi(x,y)=x\ln y + x^{2}y^{3} + g(y).

Passo 6

Determinar g(y) impondo \phi_y=Q. Calcular \phi_y a partir da expressão encontrada:
\phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln y\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)+g'(y) = x\cdot\frac{1}{y}+3x^{2}y^{2}+g'(y).
Mas sabemos que \phi_y deve ser igual a Q(x,y)=3x^{2}y^{2}+\dfrac{x}{y}. Igualando:
x\cdot\frac{1}{y}+3x^{2}y^{2}+g'(y)=3x^{2}y^{2}+\frac{x}{y}.
Cancelam os termos idênticos 3x^{2}y^{2} e \dfrac{x}{y}, restando
g'(y)=0.
Portanto g(y) é constante: g(y)=C, com C constante real arbitrária.

Passo 7

Conclusão e forma final da potencial. Tomando a constante C (pode escolher C=0 se quiser uma potencial específica), a função potencial é
\varphi(x,y)=x\ln y + x^{2}y^{3} + C.
Checagem rápida: derivando \varphi dá exatamente as componentes P e Q em y>0, como queríamos.

Resposta

Sim. \varphi(x,y)=x\ln y + x^{2}y^{3} + C

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