Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
\mathbf{F}(x, y)=\left(e^{x} \operatorname{sen} y\right) \mathbf{i}+\left(e^{x} \operatorname{sen} y\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y) e pede duas coisas: verificar se ele é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. As informações fornecidas são:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y)=\bigl(e^{x}\sin y\bigr)\mathbf{i}+\bigl(e^{x}\sin y\bigr)\mathbf{j}.
  • A pergunta é: o campo é conservativo? Em caso afirmativo, apresentar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, então, por definição,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y),
onde P e Q são as componentes de \mathbf{F}: \mathbf{F}=(P,Q).
  • Em regiões simples (por exemplo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexa), uma condição prática e muito usada é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se essa igualdade vale em toda a região onde o campo está definido, então o campo é conservativo (essa é uma condição necessária e suficiente em regiões simplesmente conexas). Se a igualdade falha em algum ponto da região, o campo não é conservativo.

Passo 3

Identifico as componentes P e Q:
P(x,y)=e^{x}\sin y,\qquad Q(x,y)=e^{x}\sin y.
Agora vou calcular cuidadosamente as derivadas parciais cruzadas que aparecem na condição do passo anterior.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial P}{\partial y}:
  • A derivada de \sin y em relação a y é \cos y.
  • Como e^{x} é tratado como constante ao derivar em relação a y,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\cos y.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
  • A derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}.
  • Como \sin y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\sin y.

Passo 6

Comparação das duas derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos y,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}\sin y.
Essas duas quantidades não são iguais em geral (só coincidem em pontos onde \cos y=\sin y, isto é, em retas específicas de y, mas não em toda a região). Como o campo está definido em todo \mathbb{R}^2 (região simplesmente conexa) e a igualdade necessária \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} falha em geral, concluímos que o campo não é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 7

Mostro também, por contradição direta, que não existe função potencial global:
  • Suponha que exista \varphi(x,y) com \phi_x=P=e^{x}\sin y. Integrando em x,
\varphi(x,y)=\int e^{x}\sin y\,dx=e^{x}\sin y + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora calcule \phi_y:
\phi_y=e^{x}\cos y + C'(y).
Mas devemos ter \phi_y=Q=e^{x}\sin y. Igualando,
e^{x}\cos y + C'(y)=e^{x}\sin y.
Isolando C'(y),
C'(y)=e^{x}\bigl(\sin y-\cos y\bigr).
O lado direito depende de x, enquanto C'(y) só pode depender de y. Essa dependência em x é impossível, logo chegamos a uma contradição. Portanto não existe \varphi definida em toda a região que satisfaça \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 8

Conclusão final e dica rápida de prova: a verificação via igualdade das derivadas cruzadas é o caminho mais direto em provas de prova/exame. Se a igualdade falhar em uma região simplesmente conexa, pare: o campo não é conservativo. Se ela valer, prossiga integrando uma componente e ajustando com a função “constante” de integração dependente da outra variável para obter o potencial.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo; não existe função potencial definida em todo \mathbb{R}^2.

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