Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: verificar se ele é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. As informações fornecidas são:
- O campo vetorial é
- A pergunta é: o campo é conservativo? Em caso afirmativo, apresentar uma função potencial
tal que .
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Se existe uma função potencial
tal que , então, por definição,
onde
e
são as componentes de
:
.
- Em regiões simples (por exemplo
, que é simplesmente conexa), uma condição prática e muito usada é checar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Se essa igualdade vale em toda a região onde o campo está definido, então o campo é conservativo (essa é uma condição necessária e suficiente em regiões simplesmente conexas). Se a igualdade falha em algum ponto da região, o campo não é conservativo.
Passo 3
Identifico as componentes
e
:
Agora vou calcular cuidadosamente as derivadas parciais cruzadas que aparecem na condição do passo anterior.
Passo 4
Cálculo de
:
- A derivada de
em relação a é . - Como
é tratado como constante ao derivar em relação a ,
Passo 5
Cálculo de
:
- A derivada de
em relação a é . - Como
é tratado como constante ao derivar em relação a ,
Passo 6
Comparação das duas derivadas:
Essas duas quantidades não são iguais em geral (só coincidem em pontos onde
, isto é, em retas específicas de
, mas não em toda a região). Como o campo está definido em todo
(região simplesmente conexa) e a igualdade necessária
falha em geral, concluímos que o campo não é conservativo em
.
Passo 7
Mostro também, por contradição direta, que não existe função potencial global:
- Suponha que exista
com . Integrando em ,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora calcule
:
Mas devemos ter
. Igualando,
Isolando
,
O lado direito depende de
, enquanto
só pode depender de
. Essa dependência em
é impossível, logo chegamos a uma contradição. Portanto não existe
definida em toda a região que satisfaça
.
Passo 8
Conclusão final e dica rápida de prova: a verificação via igualdade das derivadas cruzadas é o caminho mais direto em provas de prova/exame. Se a igualdade falhar em uma região simplesmente conexa, pare: o campo não é conservativo. Se ela valer, prossiga integrando uma componente e ajustando com a função “constante” de integração dependente da outra variável para obter o potencial.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo; não existe função potencial definida em todo
.