Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{i}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se o campo vetorial \mathbf{F} é conservativo.
  • Se for, encontrar uma função potencial que represente \mathbf{F}.
O enunciado fornece o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}+\mathbf{k}.
Informações relevantes a observar (tiradas do enunciado):
  • As componentes são P(x,y,z)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, Q(x,y,z)=\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}, R(x,y,z)=1.
  • O denominador x^{2}+y^{2} anula-se quando x=0 e y=0 simultaneamente; portanto o campo não está definido na reta \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\} (e.g., no eixo z). Em todo ponto com x^{2}+y^{2}>0 o campo está bem definido.

Passo 2

Critério prático: um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) definido num domínio onde as derivadas parciais necessárias existem é conservativo se satisfaz \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e se existe um potencial global adequado no domínio. Vou calcular o rotacional (curl) de \mathbf{F}. A fórmula em componentes é
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias (todas válidas quando x^{2}+y^{2}>0).
Primeiro, R(x,y,z)=1
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=0,
pois P e Q não dependem de z.
Agora a componente \mathbf{k}:
Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
Escrevendo P=x(x^{2}+y^{2})^{-1} e Q=y(x^{2}+y^{2})^{-1}, usa-se a regra do produto/ cadeia:
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1} = y\cdot\bigl(-1\bigr)\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2x = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
\frac{\partial P}{\partial y} = x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1} = x\cdot\bigl(-1\bigr)\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2y = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} -\bigl(-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\bigr)=0.
As outras duas componentes do rotacional já ficam imediatamente
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.
Logo concluímos que, para todo ponto com x^{2}+y^{2}>0,
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 4

Como o rotacional é nulo onde o campo está definido, o campo é irrotacional naquele domínio. Agora vou construir explicitamente uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, mostrando passo a passo como fazer isso — é o procedimento que dá para aplicar na prova.
Começo integrando a primeira componente P em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Integro em x (tratando y,z como constantes):
\varphi(x,y,z)=\int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx.
Faça a substituição simples: u=x^{2}+y^{2} então du=2x\,dx, logo
\int\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln u + \text{constante},
isto é
\varphi(x,y,z)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função “constante” em relação a x que pode depender de y e z.

Passo 5

Agora determino g(y,z) impondo que a derivada de \varphi em y coincida com Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\frac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2})\Bigr]+\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+g_{y}(y,z) =\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+g_{y}(y,z).
Isso deve ser igual a Q=\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Comparando,
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+g_{y}(y,z)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad g_{y}(y,z)=0.
Portanto g não depende de y; só pode depender de z: g(y,z)=h(z).

Passo 6

Finalmente uso a condição para a derivada em z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=h'(z)
deve ser igual a R=1. Assim h'(z)=1, logo h(z)=z+C, onde C é constante arbitrária.
Juntando tudo:
\varphi(x,y,z)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+z+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): calcule \nabla\varphi:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=1,
que coincidem com as componentes de \mathbf{F}. Portanto \mathbf{F}=\nabla\varphi onde \varphi está definida (isto é, para x^{2}+y^{2}>0).

Resposta

Conservativo no domínio \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}>0\}.
\displaystyle \varphi(x,y,z)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+z+C

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