Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar se o campo vetorial
é conservativo. - Se for, encontrar uma função potencial que represente
.
O enunciado fornece o campo
Informações relevantes a observar (tiradas do enunciado):
- As componentes são
, , . - O denominador
anula-se quando e simultaneamente; portanto o campo não está definido na reta (e.g., no eixo ). Em todo ponto com o campo está bem definido.
Passo 2
Critério prático: um campo vetorial
definido num domínio onde as derivadas parciais necessárias existem é conservativo se satisfaz
e se existe um potencial global adequado no domínio. Vou calcular o rotacional (curl) de
. A fórmula em componentes é
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias (todas válidas quando
).
Primeiro,
dá
pois
e
não dependem de
.
Agora a componente
:
Calcular e
.
Calcular
Escrevendo
e
, usa-se a regra do produto/ cadeia:
Portanto
As outras duas componentes do rotacional já ficam imediatamente
Logo concluímos que, para todo ponto com
,
Passo 4
Como o rotacional é nulo onde o campo está definido, o campo é irrotacional naquele domínio. Agora vou construir explicitamente uma função potencial
tal que
, mostrando passo a passo como fazer isso — é o procedimento que dá para aplicar na prova.
Começo integrando a primeira componente
em relação a
:
Integro em
(tratando
como constantes):
Faça a substituição simples:
então
, logo
isto é
onde
é uma função “constante” em relação a
que pode depender de
e
.
Passo 5
Agora determino
impondo que a derivada de
em
coincida com
:
Isso deve ser igual a
. Comparando,
Portanto
não depende de
; só pode depender de
:
.
Passo 6
Finalmente uso a condição para a derivada em
:
deve ser igual a
. Assim
, logo
, onde
é constante arbitrária.
Juntando tudo:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): calcule
:
que coincidem com as componentes de
. Portanto
onde
está definida (isto é, para
).
Resposta
Conservativo no domínio
.