Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar se o campo vetorial
é conservativo. - Se for conservativo, encontrar uma função potencial que gere
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Componente
-do campo: . - Componente
-do campo: . - O campo está definido para todos os pares
em .
Passo 2
Conceito e critério (explicado com calma).
- Um campo vetorial em duas variáveis
é conservativo quando existe uma função (chamada potencial) tal que . Ou seja,
- Uma forma prática (teorema simples) para verificar conservatividade em planos é: se
e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado (como ), então é conservativo se, e somente se,
para todo
do domínio.
- Aqui “derivada parcial” significa derivar
ou em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa. “Dominio simplesmente conectado” significa, de forma simples, que não há buracos no domínio (no nosso caso não tem buracos).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedidas.
- Primeiro identifique
e (já listados):
- Derivada parcial de
em relação a :
(ao derivar
em relação a
obtém-se
;
é tratado como constante porque estamos derivando em relação a
.)
- Derivada parcial de
em relação a :
(aqui
é tratado como constante ao derivar em
.)
Passo 4
Comparação e conclusão sobre conservatividade.
- Vimos que
- As derivadas parciais são contínuas em todo
e o domínio é simplesmente conectado. - Portanto, pela condição acima, o campo
é conservativo em .
Passo 5
Estratégia para encontrar a função potencial e primeiro passo (integração).
- Queremos encontrar
tal que . - Começamos integrando
em relação a (porque ):
- Ao integrar em
, é constante (é função só de ), então
onde
é “constante de integração” que pode depender de
. É importante entender: ao integrar parcialmente, a “constante” pode ser uma função da outra variável.
Passo 6
Determinar
usando a segunda condição
.
- Calcule
a partir da expressão obtida:
- Mas devemos ter
. Igualando,
- Da igualdade acima obtemos
, isto é, é constante:
onde
é uma constante real.
Passo 7
Escrever a função potencial final e verificar rapidamente.
- Assim a função potencial é
- Verificação rápida (só para ter certeza):
e . Bate certinho.
Resposta
Sim.