Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
\mathbf{F}(x, y)=e^{x}(\cos y \mathbf{i}-\operatorname{sen} y \mathbf{j})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=e^{x}(\cos y\,\mathbf{i}-\operatorname{sen} y\,\mathbf{j}) é conservativo.
  • Se for conservativo, encontrar uma função potencial que gere \mathbf{F}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Componente x-do campo: P(x,y)=e^{x}\cos y.
  • Componente y-do campo: Q(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen} y.
  • O campo está definido para todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Conceito e critério (explicado com calma).
  • Um campo vetorial em duas variáveis \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j} é conservativo quando existe uma função \varphi(x,y) (chamada potencial) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Ou seja,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y).
  • Uma forma prática (teorema simples) para verificar conservatividade em planos é: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado (como \mathbb{R}^2), então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
para todo (x,y) do domínio.
  • Aqui “derivada parcial” significa derivar P ou Q em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa. “Dominio simplesmente conectado” significa, de forma simples, que não há buracos no domínio (no nosso caso \mathbb{R}^2 não tem buracos).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedidas.
  • Primeiro identifique P e Q (já listados):
P(x,y)=e^{x}\cos y,\qquad Q(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen} y.
  • Derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cdot\frac{d}{dy}(\cos y)=e^{x}(-\sin y)=-e^{x}\sin y.
(ao derivar \cos y em relação a y obtém-se -\sin y; e^{x} é tratado como constante porque estamos derivando em relação a y.)
  • Derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{x}\sin y\big)=-\sin y\cdot\frac{d}{dx}(e^{x})=-\sin y\cdot e^{x}=-e^{x}\sin y.
(aqui \sin y é tratado como constante ao derivar em x.)

Passo 4

Comparação e conclusão sobre conservatividade.
  • Vimos que
\frac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\sin y=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • As derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2 e o domínio \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado.
  • Portanto, pela condição acima, o campo \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 5

Estratégia para encontrar a função potencial e primeiro passo (integração).
  • Queremos encontrar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  • Começamos integrando P em relação a x (porque \partial\varphi/\partial x=P):
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int e^{x}\cos y\,dx.
  • Ao integrar em x, \cos y é constante (é função só de y), então
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y + h(y),
onde h(y) é “constante de integração” que pode depender de y. É importante entender: ao integrar parcialmente, a “constante” pode ser uma função da outra variável.

Passo 6

Determinar h(y) usando a segunda condição \partial\varphi/\partial y=Q.
  • Calcule \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y + h(y)\big)=-e^{x}\sin y + h'(y).
  • Mas devemos ter \partial\varphi/\partial y=Q(x,y)=-e^{x}\sin y. Igualando,
-e^{x}\sin y + h'(y)=-e^{x}\sin y.
  • Da igualdade acima obtemos h'(y)=0, isto é, h é constante:
h(y)=C,
onde C é uma constante real.

Passo 7

Escrever a função potencial final e verificar rapidamente.
  • Assim a função potencial é
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y + C.
  • Verificação rápida (só para ter certeza): \partial\varphi/\partial x=e^{x}\cos y=P e \partial\varphi/\partial y=-e^{x}\sin y=Q. Bate certinho.

Resposta

Sim.
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y + C

Exercícios relacionados