Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Verificar se o campo vetorial
é conservativo. - Se for conservativo, encontrar uma função potencial que gere
.
As informações dadas são:
Vou trabalhar no plano, lembrando que a expressão não está definida em
; portanto o domínio natural de
é
.
Passo 2
O que significa “conservativo” (de forma prática que vou usar)?
- Um campo vetorial planar
é conservativo se existe uma função escalar tal que
ou seja
- Uma verificação clássica é calcular as derivadas parciais mistas: se o domínio for simplesmente conexo e
em todo o domínio então é conservativo. Aqui o domínio não é simplesmente conexo (tem um buraco no 0), portanto a igualdade das derivadas mistas é uma condição necessária mas não garantida como suficiente — mesmo assim é um bom passo inicial.
Passo 3
Identifico
e
para o nosso campo:
Vou calcular
e
com cuidado, usando a regra da cadeia.
Passo 4
Cálculo de
.
Escrevo
. Aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante). - A derivada de
em relação a é (pois com e ).
Multiplicando, obtemos
Passo 5
Cálculo de
.
Analogamente, escrevo
. Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Multiplicando, obtemos
Passo 6
Comparando:
Portanto o rotacional (curl) é zero em
. Como já disse antes, isso é necessário para
ser conservativo; o domínio não é simplesmente conexo, então igualdade das mistas não garante automaticamente, mas é um forte indício. A forma direta de concluir é tentar construir explicitamente uma função potencial
.
Passo 7
Vou procurar
resolvendo
Integro em relação a
, tratando
como constante. Faço a substituição natural
, então
, o que torna a integral simples:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Voltando à variável original,
Passo 8
Agora uso a outra condição
para determinar
. Calculo
:
- Derivando
em relação a dá (aplicando regra da cadeia). - Derivando
dá .
Assim
Isso deve ser igual a
. Da comparação segue que
ou seja
é constante. Chamo essa constante de
.
Passo 9
Concluo que uma função potencial é
válida para todo
. Verificação direta (checar gradiente) rápida:
portanto
em
. Isso mostra que
é conservativo no domínio onde está definida.
Observação didática curta: embora o domínio tenha um buraco no origem, aqui foi possível achar explicitamente
. Em outros casos (por exemplo
) o rotacional também é zero em
e ainda assim não existe potencial global — por isso é sempre bom tentar construir a
explicitamente quando o domínio não é simplesmente conexo.