Questão 1. Nos itens a seguir, verifique se o campo vetorial é conservativo e, em caso positivo, encontre uma função potencial que o represente.
\mathbf{F}(x, y)=\frac{2 x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Verificar se o campo vetorial \mathbf{F} é conservativo.
  • Se for conservativo, encontrar uma função potencial que gere \mathbf{F}.
As informações dadas são:
\mathbf{F}(x,y)=\frac{2x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Vou trabalhar no plano, lembrando que a expressão não está definida em (0,0); portanto o domínio natural de \mathbf{F} é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 2

O que significa “conservativo” (de forma prática que vou usar)?
  • Um campo vetorial planar \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que
\mathbf{F}=\nabla\varphi,
ou seja
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
  • Uma verificação clássica é calcular as derivadas parciais mistas: se o domínio for simplesmente conexo e \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo o domínio então \mathbf{F} é conservativo. Aqui o domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conexo (tem um buraco no 0), portanto a igualdade das derivadas mistas é uma condição necessária mas não garantida como suficiente — mesmo assim é um bom passo inicial.

Passo 3

Identifico P e Q para o nosso campo:
P(x,y)=\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Vou calcular \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x} com cuidado, usando a regra da cadeia.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial P}{\partial y}.
Escrevo P(x,y)=2x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}. Aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a y:
  • A derivada de 2x em relação a y é 0 (pois x é tratado como constante).
  • A derivada de (x^{2}+y^{2})^{-2} em relação a y é -2(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2y (pois \dfrac{d}{dy}u^{-2}=-2u^{-3}u' com u=x^{2}+y^{2} e u'=2y).
Multiplicando, obtemos
\frac{\partial P}{\partial y} =2x\cdot\big(-2\big)(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2y =-8xy\,(x^{2}+y^{2})^{-3}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
Analogamente, escrevo Q(x,y)=2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}. Derivando em relação a x:
  • A derivada de 2y em relação a x é 0.
  • A derivada de (x^{2}+y^{2})^{-2} em relação a x é -2(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2x.
Multiplicando, obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x} =2y\cdot\big(-2\big)(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2x =-8xy\,(x^{2}+y^{2})^{-3}.

Passo 6

Comparando:
\frac{\partial P}{\partial y}=-8xy\,(x^{2}+y^{2})^{-3}=\frac{\partial Q}{\partial x} \quad\text{para todo }(x,y)\neq(0,0).
Portanto o rotacional (curl) é zero em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Como já disse antes, isso é necessário para \mathbf{F} ser conservativo; o domínio não é simplesmente conexo, então igualdade das mistas não garante automaticamente, mas é um forte indício. A forma direta de concluir é tentar construir explicitamente uma função potencial \varphi.

Passo 7

Vou procurar \varphi resolvendo
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Integro em relação a x, tratando y como constante. Faço a substituição natural u=x^{2}+y^{2}, então \dfrac{du}{dx}=2x, o que torna a integral simples:
\varphi(x,y)=\int \frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx =\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Voltando à variável original,
\varphi(x,y)=-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+C(y).

Passo 8

Agora uso a outra condição \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y) para determinar C(y). Calculo \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}:
  • Derivando - (x^{2}+y^{2})^{-1} em relação a y 2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2} (aplicando regra da cadeia).
  • Derivando C(y) C'(y).
Assim
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}+C'(y).
Isso deve ser igual a Q(x,y)=2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}. Da comparação segue que
C'(y)=0,
ou seja C(y) é constante. Chamo essa constante de C.

Passo 9

Concluo que uma função potencial é
\varphi(x,y)=-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+C,
válida para todo (x,y)\neq(0,0). Verificação direta (checar gradiente) rápida:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}=Q,
portanto \nabla\varphi=\mathbf{F} em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Isso mostra que \mathbf{F} é conservativo no domínio onde está definida.
Observação didática curta: embora o domínio tenha um buraco no origem, aqui foi possível achar explicitamente \varphi. Em outros casos (por exemplo \mathbf{F}=\dfrac{(-y,x)}{x^{2}+y^{2}}) o rotacional também é zero em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} e ainda assim não existe potencial global — por isso é sempre bom tentar construir a \varphi explicitamente quando o domínio não é simplesmente conexo.

Resposta

\mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+C, com C constante.

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