Questão 2 (
pontos) - Encontre um polinômio
que interpole os pontos da tabela abaixo:
1
2
3
4
5
6
7
1934
1942
1958
1962
1970
1982
1992
Quanto vale esse polinômio em
?
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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1934 | 1942 | 1958 | 1962 | 1970 | 1982 | 1992 |
Passo 1
O enunciado fornece 7 pontos da função
organizados na tabela abaixo e pede: (a) encontrar um polinômio
que interpole esses pontos; (b) calcular o valor de
em
.
Os dados fornecidos são:
Não há outras informações. A missão é construir um polinômio
que passe por todos esses pontos e, com ele, avaliar
.
Passo 2
Ideia e método escolhido (explicação didática e intuitiva, passo a passo): existe um único polinômio de grau menor ou igual a
que interpola
pontos com abscissas distintas. Vou usar a forma de Newton para interpolação com nós igualmente espaçados (
). Essa forma é prática porque podemos usar as diferenças finitas.
Conceitos importantes (explicados com calma):
- Diferenças finitas: a primeira diferença entre valores consecutivos é
. A segunda diferença é , e assim por diante. - Diferenças divididas de Newton para nós igualmente espaçados são relacionadas às diferenças finitas por
Esses são os coeficientes da forma de Newton: - Para avaliar em um
qualquer, podemos usar essa forma sem expandir o polinômio em potências de .
Vou montar a tabela de diferenças finitas, extrair as diferenças divididas (coeficientes de Newton) e escrever
na forma de Newton. Depois avalio
.
Passo 3
Construção da tabela de diferenças finitas (cada linha é uma ordem de diferença). Começo listando os valores
e calculo as diferenças consecutivas:
Valores originais:
Primeiras diferenças
:
porque, por exemplo,
,
, etc.
Segundas diferenças
:
(por exemplo
,
, …).
Terceiras diferenças
:
Quartas diferenças
:
Quintas diferenças
:
Sexta diferença
:
Resumo das primeiras diferenças em relação ao primeiro nó
(só os primeiros elementos de cada ordem são úteis para a forma de Newton centrada em
):
Passo 4
Cálculo das diferenças divididas (coeficientes da forma de Newton) usando a relação
.
Calculo cada coeficiente:
Expliquei como cada coeficiente nasce das diferenças finitas divididas pela fatorial correspondente.]
Passo 5
Escrevo o polinômio interpolador
na forma de Newton com os coeficientes encontrados. Essa é uma forma válida e prática de representar o polinômio pedido:
Comentário rápido: esta expressão é um polinômio de grau
que interpola os sete pontos dados. Está pronta para avaliação em qualquer
.
Passo 6
Avaliação prática de
. Para facilitar a conta eu uso a forma equivalente com a variável adimensional
com
(escrito de maneira intuitiva:
). Para
temos
A forma com diferenças finitas dá
onde
.
Agora calculo termo a termo (mostrando as contas com frações para não depender de aproximações grosseiras):
s =
.
Termos:
Agora somo tudo (faço soma exata em frações e depois apresento decimal):
Observação amigável: se você preferir, pode arredondar para, por exemplo,
, mas a forma exata em fração é
.]