Questão 2 ( \mathbf{3 , 0} pontos) - Encontre um polinômio p que interpole os pontos da tabela abaixo:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 1934 1942 1958 1962 1970 1982 1992
Quanto vale esse polinômio em x=4,5 ?

Passo 1

O enunciado fornece 7 pontos da função f organizados na tabela abaixo e pede: (a) encontrar um polinômio p que interpole esses pontos; (b) calcular o valor de p em x=4{,}5.
Os dados fornecidos são:
\begin{array}{c|ccccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\hline f(x) & 1934 & 1942 & 1958 & 1962 & 1970 & 1982 & 1992 \end{array}
Não há outras informações. A missão é construir um polinômio p que passe por todos esses pontos e, com ele, avaliar p(4{,}5).

Passo 2

Ideia e método escolhido (explicação didática e intuitiva, passo a passo): existe um único polinômio de grau menor ou igual a 6 que interpola 7 pontos com abscissas distintas. Vou usar a forma de Newton para interpolação com nós igualmente espaçados ( x_1=1,x_2=2,\dots,x_7=7). Essa forma é prática porque podemos usar as diferenças finitas.
Conceitos importantes (explicados com calma):
  • Diferenças finitas: a primeira diferença entre valores consecutivos é \Delta f_i = f_{i+1}-f_i. A segunda diferença é \Delta^2 f_i = \Delta f_{i+1}-\Delta f_i, e assim por diante.
  • Diferenças divididas de Newton para nós igualmente espaçados são relacionadas às diferenças finitas por f[x_1,\dots,x_{k+1}] = \frac{\Delta^k f_1}{k!}.Esses f[\cdots] são os coeficientes da forma de Newton: p(x)=f[x_1]+f[x_1,x_2](x-x_1)+f[x_1,x_2,x_3](x-x_1)(x-x_2)+\cdots.
  • Para avaliar em um x qualquer, podemos usar essa forma sem expandir o polinômio em potências de x.
Vou montar a tabela de diferenças finitas, extrair as diferenças divididas (coeficientes de Newton) e escrever p(x) na forma de Newton. Depois avalio p(4{,}5).

Passo 3

Construção da tabela de diferenças finitas (cada linha é uma ordem de diferença). Começo listando os valores f(x) e calculo as diferenças consecutivas:
Valores originais:
f(1)=1934,\; f(2)=1942,\; f(3)=1958,\; f(4)=1962,\; f(5)=1970,\; f(6)=1982,\; f(7)=1992.
Primeiras diferenças \Delta f:
8,\;16,\;4,\;8,\;12,\;10
porque, por exemplo, \Delta f_1 = 1942-1934=8, \Delta f_2 =1958-1942=16, etc.
Segundas diferenças \Delta^2 f:
8,\;-12,\;4,\;4,\;-2
(por exemplo \Delta^2 f_1 = 16-8=8, \Delta^2 f_2 = 4-16=-12, …).
Terceiras diferenças \Delta^3 f:
-20,\;16,\;0,\;-6
Quartas diferenças \Delta^4 f:
36,\;-16,\;-6
Quintas diferenças \Delta^5 f:
-52,\;10
Sexta diferença \Delta^6 f:
62
Resumo das primeiras diferenças em relação ao primeiro nó x_1=1 (só os primeiros elementos de cada ordem são úteis para a forma de Newton centrada em x_1):
\Delta f_1 = 8,\quad \Delta^2 f_1 = 8,\quad \Delta^3 f_1 = -20,\quad \Delta^4 f_1 = 36,\quad \Delta^5 f_1 = -52,\quad \Delta^6 f_1 = 62.

Passo 4

Cálculo das diferenças divididas (coeficientes da forma de Newton) usando a relação f[x_1,\dots,x_{k+1}] = \dfrac{\Delta^k f_1}{k!}.
Calculo cada coeficiente:
\begin{aligned} f[x_1] &= f(1)=1934,\\[4pt] f[x_1,x_2] &= \frac{\Delta f_1}{1!} = 8,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3] &= \frac{\Delta^2 f_1}{2!} = \frac{8}{2}=4,\\[4pt] f[x_1,\dots,x_4] &= \frac{\Delta^3 f_1}{3!} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3},\\[4pt] f[x_1,\dots,x_5] &= \frac{\Delta^4 f_1}{4!} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2},\\[4pt] f[x_1,\dots,x_6] &= \frac{\Delta^5 f_1}{5!} = \frac{-52}{120} = -\frac{13}{30},\\[4pt] f[x_1,\dots,x_7] &= \frac{\Delta^6 f_1}{6!} = \frac{62}{720} = \frac{31}{360}. \end{aligned}
Expliquei como cada coeficiente nasce das diferenças finitas divididas pela fatorial correspondente.]

Passo 5

Escrevo o polinômio interpolador p(x) na forma de Newton com os coeficientes encontrados. Essa é uma forma válida e prática de representar o polinômio pedido:
\begin{aligned} p(x) &= 1934 \;+\; 8\,(x-1) \;+\; 4\,(x-1)(x-2) \\\ &\qquad {} -\frac{10}{3}\,(x-1)(x-2)(x-3) \\\ &\qquad {} +\frac{3}{2}\,(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \\\ &\qquad {} -\frac{13}{30}\,(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) \\\ &\qquad {} +\frac{31}{360}\,(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6). \end{aligned}
Comentário rápido: esta expressão é um polinômio de grau \le 6 que interpola os sete pontos dados. Está pronta para avaliação em qualquer x.

Passo 6

Avaliação prática de p(4{,}5). Para facilitar a conta eu uso a forma equivalente com a variável adimensional s=\dfrac{x-x_1}{h} com h=1 (escrito de maneira intuitiva: s=x-1). Para x=4{,}5 temos
s = 4{,}5-1 = 3{,}5 = \frac{7}{2}.
A forma com diferenças finitas dá
p(4{,}5)=f(1)+\binom{s}{1}\Delta f_1+\binom{s}{2}\Delta^2 f_1+\binom{s}{3}\Delta^3 f_1+\binom{s}{4}\Delta^4 f_1+\binom{s}{5}\Delta^5 f_1+\binom{s}{6}\Delta^6 f_1,
onde \displaystyle \binom{s}{k}=\frac{s(s-1)\cdots(s-k+1)}{k!}.
Agora calculo termo a termo (mostrando as contas com frações para não depender de aproximações grosseiras):
s = \dfrac{7}{2}.
Termos:
\begin{aligned} \text{Termo 0: }& f(1)=1934.\\[4pt] \text{Termo 1: }& \binom{s}{1}\Delta f_1 = s\cdot 8 = \frac{7}{2}\cdot 8 = 28.\\[4pt] \text{Termo 2: }& \binom{s}{2}\Delta^2 f_1 = \frac{s(s-1)}{2}\cdot 8 = \frac{\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}}{2}\cdot 8 =35.\\[4pt] \text{Termo 3: }& \binom{s}{3}\Delta^3 f_1 = \frac{s(s-1)(s-2)}{6}\cdot(-20) = \frac{105}{48}\cdot(-20)= -\frac{175}{4} = -43{,}75.\\[4pt] \text{Termo 4: }& \binom{s}{4}\Delta^4 f_1 = \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{24}\cdot 36 = \frac{105}{384}\cdot 36 = \frac{315}{32} = 9{,}84375.\\[4pt] \text{Termo 5: }& \binom{s}{5}\Delta^5 f_1 = \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)}{120}\cdot(-52) = -\frac{7}{256}\cdot(-52)=\frac{91}{64}=1{,}421875.\\[4pt] \text{Termo 6: }& \binom{s}{6}\Delta^6 f_1 = \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)(s-5)}{720}\cdot 62 = \frac{7}{1024}\cdot 62 = \frac{217}{512}=0{,}423828125. \end{aligned}
Agora somo tudo (faço soma exata em frações e depois apresento decimal):
\begin{aligned} p(4{,}5) &= 1934 + 28 + 35 - \tfrac{175}{4} + \tfrac{315}{32} + \tfrac{91}{64} + \tfrac{217}{512}\\[4pt] &= \frac{1006049}{512} \;=\; 1964{,}939453125. \end{aligned}
Observação amigável: se você preferir, pode arredondar para, por exemplo, 1964{,}94, mas a forma exata em fração é \dfrac{1006049}{512}.]

Resposta

p(x)=1934+8(x-1)+4(x-1)(x-2)-\frac{10}{3}(x-1)(x-2)(x-3)+\frac{3}{2}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-\frac{13}{30}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+\frac{31}{360}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
p(4{,}5)=\frac{1006049}{512}=1964{,}939453125

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