Questão 5 (
pontos) - Uma espira transporta uma corrente elétrica constante de
. Determine o módulo do campo magnético gerado a uma distância de 4 cm do fio (valor do raio da espira) no vácuo. Faça uma análise comparativa do resultado com a Questão 4.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
- Corrente elétrica na espira:
. - A distância indicada é
, que é o valor do raio da espira. Ou seja, o raio da espira é . - Meio: vácuo (portanto usa-se a permeabilidade do vácuo
). - Perguntas:
- Determinar o módulo do campo magnético gerado a uma distância de
do fio (interpreto isso como o campo no centro de uma espira circular de raio ). - Fazer uma análise comparativa do resultado com a Questão 4.
- Determinar o módulo do campo magnético gerado a uma distância de
Passo 2
Escolha do método e conceito que vou usar (explicado passo a passo, como se estivéssemos na prova).
- Para calcular o campo magnético no centro de uma espira circular percorremos a lei de Biot–Savart. A forma diferencial da lei de Biot–Savart é
onde:
-
é a permeabilidade magnética do vácuo; -
é a corrente que percorre a espira; -
é um elemento de comprimento da espira, com direção do fluxo de corrente; -
é o versor que aponta do elemento até o ponto onde se calcula o campo; -
é a distância do elemento até esse ponto; -
é a contribuição infinitesimal de campo magnético devido a . - Por simetria: no centro da espira circular todos os vetores
têm a mesma direção (perpendicular ao plano da espira) e podem ser somados em módulo. Isso permite integrar facilmente as contribuições ao longo de toda a espira. - Para o centro da espira, o ângulo entre
e é , então . A distância do elemento ao centro é igual ao raio para todos os elementos.
Passo 3
Derivação do resultado para o campo no centro (mostrando as contas que dá para fazer sem calculadora, passo a passo):
- A partir de Biot–Savart, o módulo da contribuição é
- Somando (integrando) ao longo de toda a circunferência:
. Assim
- Simplificando:
Esta é a fórmula clássica: no centro de uma espira circular de raio
,
(Explicação rápida do que cada símbolo significa já foi dada no passo anterior.)
Passo 4
Substituição numérica (com unidade e cuidado com conversão):
- Valores:
, , . - Substituindo em
:
- Calcular passo a passo:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Dividindo:
- Usando
: . - Logo
- Numerador:
- Arredondando a três algarismos significativos:
- Em unidades mais intuitivas:
Passo 5
Interpretação rápida, dica prática e análise comparativa solicitada:
- Interpretação: o campo magnético no centro da espira é
, isto é, da ordem de algumas dezenas de microteslas. Para ter uma referência física, o campo magnético terrestre varia tipicamente entre e , então a espira aqui produz um campo comparável ao campo terrestre. - Observação sobre a análise comparativa pedida com a Questão 4: não foi fornecido o enunciado ou resultado da Questão 4 aqui. Portanto não é possível fazer a comparação específica pedida (não se deve inventar o conteúdo da Questão 4). Se precisar que eu compare, envie o enunciado ou resultado da Questão 4 e eu faço a análise direta.
- (Para ajudar enquanto isso: se a Questão 4 fosse — hipoteticamente — o campo de um fio retilíneo longo a
, o campo desse fio seria dado por . Substituindo e os mesmos obtém-se , ou seja, neste caso a espira no centro produziria um campo vezes maior que o fio retilíneo à mesma distância. Mas friso: isto é apenas uma comparação hipotética, útil só se a Questão 4 for realmente sobre fio retilíneo.)