Questão 5 ( \mathbf{2 , 0} pontos) - Uma espira transporta uma corrente elétrica constante de \mathrm{I}=2,5 \mathrm{~A}. Determine o módulo do campo magnético gerado a uma distância de 4 cm do fio (valor do raio da espira) no vácuo. Faça uma análise comparativa do resultado com a Questão 4.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
  • Corrente elétrica na espira: I=2,5\\ \mathrm{A}.
  • A distância indicada é 4\\ \mathrm{cm}, que é o valor do raio da espira. Ou seja, o raio da espira é R=4\\ \mathrm{cm}.
  • Meio: vácuo (portanto usa-se a permeabilidade do vácuo \mu_0).
  • Perguntas:
    1. Determinar o módulo do campo magnético gerado a uma distância de 4\\ \mathrm{cm} do fio (interpreto isso como o campo no centro de uma espira circular de raio R=4\\ \mathrm{cm}).
    2. Fazer uma análise comparativa do resultado com a Questão 4.

Passo 2

Escolha do método e conceito que vou usar (explicado passo a passo, como se estivéssemos na prova).
  • Para calcular o campo magnético no centro de uma espira circular percorremos a lei de Biot–Savart. A forma diferencial da lei de Biot–Savart é
d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec{\ell}\times\hat{r}}{r^2},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo;
  • I é a corrente que percorre a espira;
  • d\vec{\ell} é um elemento de comprimento da espira, com direção do fluxo de corrente;
  • \hat{r} é o versor que aponta do elemento até o ponto onde se calcula o campo;
  • r é a distância do elemento até esse ponto;
  • d\vec{B} é a contribuição infinitesimal de campo magnético devido a d\vec{\ell}.
  • Por simetria: no centro da espira circular todos os vetores d\vec{B} têm a mesma direção (perpendicular ao plano da espira) e podem ser somados em módulo. Isso permite integrar facilmente as contribuições ao longo de toda a espira.
  • Para o centro da espira, o ângulo entre d\vec{\ell} e \hat{r} é 90^\circ, então |d\vec{\ell}\times\hat{r}|=dl. A distância r do elemento ao centro é igual ao raio R para todos os elementos.

Passo 3

Derivação do resultado para o campo no centro (mostrando as contas que dá para fazer sem calculadora, passo a passo):
  • A partir de Biot–Savart, o módulo da contribuição é
dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^2}.
  • Somando (integrando) ao longo de toda a circunferência: \displaystyle \int dl = 2\pi R. Assim
B=\int dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I}{R^2}\int dl =\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I}{R^2}\cdot(2\pi R).
  • Simplificando:
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{2\pi R}{R^2}=\frac{\mu_0 I}{2R}.
Esta é a fórmula clássica: no centro de uma espira circular de raio R,
B=\frac{\mu_0 I}{2R}.
(Explicação rápida do que cada símbolo significa já foi dada no passo anterior.)

Passo 4

Substituição numérica (com unidade e cuidado com conversão):
  • Valores: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I=2,5\\ \mathrm{A}, R=4\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo em \displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2R}:
B=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot(2,5)}{2\cdot0,04}.
  • Calcular passo a passo:
    • Numerador: (4\pi\times10^{-7})\cdot2,5 = 10\pi\times10^{-7}.
    • Denominador: 2\cdot0,04=0,08.
    • Dividindo: \dfrac{10\pi\times10^{-7}}{0,08}=\dfrac{10}{0,08}\pi\times10^{-7}=125\pi\times10^{-7}.
    • Usando \pi\approx3,1416: 125\pi\approx125\cdot3,1416\approx392,699.
    • Logo B\approx392,699\times10^{-7}\\ \mathrm{T}=3,92699\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Arredondando a três algarismos significativos:
B\approx3,93\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Em unidades mais intuitivas:
B\approx39,3\\ \mu\mathrm{T}\quad\bigl(1\\ \mu\mathrm{T}=10^{-6}\\ \mathrm{T}\bigr).

Passo 5

Interpretação rápida, dica prática e análise comparativa solicitada:
  • Interpretação: o campo magnético no centro da espira é \sim 3{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{T}, isto é, da ordem de algumas dezenas de microteslas. Para ter uma referência física, o campo magnético terrestre varia tipicamente entre \approx25\\ \mu\mathrm{T} e \approx65\\ \mu\mathrm{T}, então a espira aqui produz um campo comparável ao campo terrestre.
  • Observação sobre a análise comparativa pedida com a Questão 4: não foi fornecido o enunciado ou resultado da Questão 4 aqui. Portanto não é possível fazer a comparação específica pedida (não se deve inventar o conteúdo da Questão 4). Se precisar que eu compare, envie o enunciado ou resultado da Questão 4 e eu faço a análise direta.
  • (Para ajudar enquanto isso: se a Questão 4 fosse — hipoteticamente — o campo de um fio retilíneo longo a r=4\\ \mathrm{cm}, o campo desse fio seria dado por \displaystyle B_{\text{fio}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}. Substituindo r=0,04\\ \mathrm{m} e os mesmos I obtém-se B_{\text{fio}}\approx1,25\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=12,5\\ \mu\mathrm{T}, ou seja, neste caso a espira no centro produziria um campo \pi vezes maior que o fio retilíneo à mesma distância. Mas friso: isto é apenas uma comparação hipotética, útil só se a Questão 4 for realmente sobre fio retilíneo.)

Resposta

B=3,93\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\approx39,3\\ \mu\mathrm{T}\nNão é possível comparar com a Questão 4 porque o enunciado/resultado da Questão 4 não foi fornecido.

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