Questão 4 ( \mathbf{2 , 0} pontos) - Um fio condutor retilíneo e longo transporta uma corrente elétrica constante de \mathrm{I}=2,5 \mathrm{~A}. Determine o módulo do campo magnético gerado a uma distância de 4 cm do fio no vácuo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Um fio condutor retilíneo e longo transporta corrente I=2,5\\ \mathrm{A}.
  • Quer-se o módulo do campo magnético a uma distância 4\\ \mathrm{cm} do fio, no vácuo.
O que é pedido: determinar o módulo de \vec{B} (valor numérico e unidade) no ponto situado a 4\\ \mathrm{cm} do fio.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática).
  • Para um fio retilíneo, longo e com corrente estacionária, a simetria do problema (o campo magnético forma círculos concêntricos em torno do fio e tem mesmo módulo em pontos equidistantes do fio) permite usar a Lei de Ampère, que em magnetostática vale:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Aqui:
  • \vec{B} é o campo magnético;
  • d\vec{l} é o elemento de comprimento ao longo do caminho fechado de Ampère;
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, cujo valor é \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica envolvida pelo caminho de integração.
Explicação da aplicação: escolher um caminho de Ampère circular de raio r centrado no fio. Neste caminho, por simetria, |\vec{B}| é constante e tangent e \vec{B} é paralelo a d\vec{l}, então o produto escalar fica B\,dl e a integral torna-se B vezes o comprimento da circunferência.

Passo 3

Deduzir a expressão do campo magnético em função de I e r.
Aplicando a Lei de Ampère ao círculo de raio r:
B\cdot (2\pi r) = \mu_0 I.
Isolando B:
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Comentário prático: essa é a fórmula padrão para o módulo do campo magnético a uma distância r de um fio retilíneo longo e reto. A direção (não pedida) vem da regra da mão direita.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (explicando cada número).
  • Converter a distância para o SI: 4\\ \mathrm{cm} = 0,04\\ \mathrm{m}. Assim, r=0,04\\ \mathrm{m}.
  • Usar \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} e I=2,5\\ \mathrm{A}.
Calcular:
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 2,5}{2\pi\cdot 0,04}.
Simplificando os \pi:
B = \frac{2\times10^{-7}\cdot 2,5}{0,04}.
Continuando os cálculos:
2\times10^{-7}\cdot 2,5 = 5\times10^{-7},
\frac{5\times10^{-7}}{0,04} = 1,25\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Para ter uma ideia em unidades mais comuns, converte-se para microtesla:
1,25\times10^{-5}\\ \mathrm{T} = 12,5\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 5

Resumo pedagógico curto e incentivo.
  • Resultado obtido com Ampère usando simetria: B decai como 1/r para fio longo.
  • Está tudo certo: se ficar nervoso na prova, lembra dessa fórmula rápida \displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} e faz a conversão de unidades com calma — você consegue!

Resposta

1,25\times10^{-5}\\ \mathrm{T}
12,5\\ \mu\mathrm{T}

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