Questão 4 ( 1 Ponto) - Uma esfera de raio a contém uma densidade volumétrica de carga uniforme
. Encontre a energia total armazenada aplicando a densidade de campo e campo elétrico.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga uniforme (unidades ). - Pede a energia total armazenada no campo elétrico da configuração, aplicando a densidade de energia do campo e o campo elétrico.
Informações úteis que vamos usar (dados do enunciado):
- Raio da esfera:
. - Densidade volumétrica:
. - Energia total solicitada:
.
Passo 2
Qual fórmula usamos para energia do campo? A densidade de energia elétrica (energia por volume) é
onde:
-
é a densidade de energia em , -
é a permissividade do vácuo (constante), -
é a intensidade do campo elétrico em cada ponto (módulo).
A energia total é a integral dessa densidade por todo o espaço:
Como o problema é esfericamente simétrico, usaremos coordenadas esféricas e a medida de volume
.
Passo 3
Precisamos do campo elétrico
em função de
. Usamos a lei de Gauss (para simetria esférica):
Para superfície esférica de raio
com simetria,
. O
depende de
.
Carga total acumulada até um raio
(pego do dado da densidade):
Logo, para
(dentro da esfera),
Para
(fora da esfera), toda carga
está dentro da superfície gaussiana; a carga total
é
Então, para
,
onde substituímos
e cancelamos os
e fatores.
Resumo dos campos (útil para as integrais):
Passo 4
Agora montamos a integral da energia:
Vamos calcular as duas integrais separadamente: dentro (
a
) e fora (
a
).
Passo 5
Energia dentro da esfera (
).
Primeiro calcule
para
:
A densidade de energia é
Multiplicando por
e integrando:
A integral
. Assim
Passo 6
Energia fora da esfera (
).
Para
, temos
Densidade de energia:
Multiplicando por
e integrando de
a
:
A integral
. Então
Passo 7
Somamos
e
:
Colocando em denominação comum:
Portanto
Passo 8
Expressão em termos da carga total
. A carga total é
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando constantes:
portanto
Passo 9
Interpretação curta (motivacional): essa
é a energia eletrostática necessária para montar a esfera carregada a partir de cargas trazidas do infinito (ou equivalente, a energia armazenada no campo elétrico). Pronto — conseguimos integrando a densidade de energia com o campo elétrico que obtemos por Gauss.