Questão 4 ( 1 Ponto) - Uma esfera de raio a contém uma densidade volumétrica de carga uniforme \rho 0 \mathbf{C} / \mathbf{m}^{\mathbf{3}}. Encontre a energia total armazenada aplicando a densidade de campo e campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma esfera de raio a com densidade volumétrica de carga uniforme \rho_0 (unidades \mathrm{C}/\mathrm{m}^3).
  • Pede a energia total armazenada no campo elétrico da configuração, aplicando a densidade de energia do campo e o campo elétrico.
Informações úteis que vamos usar (dados do enunciado):
  • Raio da esfera: a.
  • Densidade volumétrica: \rho_0.
  • Energia total solicitada: U.

Passo 2

Qual fórmula usamos para energia do campo? A densidade de energia elétrica (energia por volume) é
u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2,
onde:
  • u é a densidade de energia em \mathrm{J/m^3},
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante),
  • E é a intensidade do campo elétrico em cada ponto (módulo).
A energia total é a integral dessa densidade por todo o espaço:
U=\int_{\text{todo espaço}} u\,\mathrm{d}V =\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\int_{\text{todo espaço}} E^2\,\mathrm{d}V.çç
Como o problema é esfericamente simétrico, usaremos coordenadas esféricas e a medida de volume \mathrm{d}V=4\pi r^2\mathrm{d}r.

Passo 3

Precisamos do campo elétrico E(r) em função de r. Usamos a lei de Gauss (para simetria esférica):
\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Para superfície esférica de raio r com simetria, \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2. O Q_{\text{int}} depende de r.
Carga total acumulada até um raio r\le a (pego do dado da densidade):
Q_{\text{int}}(r)=\rho_0\cdot\text{volume da esfera de raio }r =\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi r^3.
Logo, para r\le a (dentro da esfera),
E(r)\,4\pi r^2=\frac{\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0}.
Para r\ge a (fora da esfera), toda carga Q está dentro da superfície gaussiana; a carga total Q é
Q=\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi a^3.
Então, para r\ge a,
E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} =\frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2},
onde substituímos Q=\rho_0\frac{4}{3}\pi a^3 e cancelamos os \pi e fatores.
Resumo dos campos (útil para as integrais):
\text{para }0\le r\le a:\quad E(r)=\frac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0}.
\text{para }r\ge a:\quad E(r)=\frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2}.

Passo 4

Agora montamos a integral da energia:
U=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\int_{0}^{\infty} E(r)^2\,4\pi r^2\mathrm{d}r =\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\left(\int_{0}^{a} E^2 4\pi r^2\mathrm{d}r+\int_{a}^{\infty} E^2 4\pi r^2\mathrm{d}r\right).
Vamos calcular as duas integrais separadamente: dentro ( 0 a a) e fora ( a a \infty).

Passo 5

Energia dentro da esfera ( 0\le r\le a).
Primeiro calcule E(r)^2 para r\le a:
E^2=\left(\frac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0}\right)^2=\frac{\rho_0^2 r^2}{9\varepsilon_0^2}.
A densidade de energia é
u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0\cdot\frac{\rho_0^2 r^2}{9\varepsilon_0^2} =\frac{\rho_0^2 r^2}{18\varepsilon_0}.
Multiplicando por 4\pi r^2 e integrando:
U_{\text{in}}=\int_{0}^{a} u\,4\pi r^2\mathrm{d}r =\int_{0}^{a}\frac{\rho_0^2 r^2}{18\varepsilon_0}\,4\pi r^2\mathrm{d}r =\frac{4\pi\rho_0^2}{18\varepsilon_0}\int_{0}^{a} r^4\mathrm{d}r.
A integral \int_{0}^{a} r^4\mathrm{d}r=\dfrac{a^5}{5}. Assim
U_{\text{in}}=\frac{4\pi\rho_0^2}{18\varepsilon_0}\cdot\frac{a^5}{5} =\frac{4\pi\rho_0^2 a^5}{90\varepsilon_0} =\frac{2\pi\rho_0^2 a^5}{45\varepsilon_0}.

Passo 6

Energia fora da esfera ( r\ge a).
Para r\ge a, temos
E(r)=\frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2}, \qquad E^2=\frac{\rho_0^2 a^6}{9\varepsilon_0^2 r^4}.
Densidade de energia:
u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2=\frac{\rho_0^2 a^6}{18\varepsilon_0 r^4}.
Multiplicando por 4\pi r^2 e integrando de a a \infty:
U_{\text{out}}=\int_{a}^{\infty} \frac{\rho_0^2 a^6}{18\varepsilon_0 r^4}\,4\pi r^2\mathrm{d}r =\frac{4\pi\rho_0^2 a^6}{18\varepsilon_0}\int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^2}\mathrm{d}r.
A integral \int_{a}^{\infty} r^{-2}\mathrm{d}r=\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{\infty}=\frac{1}{a}. Então
U_{\text{out}}=\frac{4\pi\rho_0^2 a^6}{18\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{a} =\frac{4\pi\rho_0^2 a^5}{18\varepsilon_0} =\frac{2\pi\rho_0^2 a^5}{9\varepsilon_0}.

Passo 7

Somamos U_{\text{in}} e U_{\text{out}}:
U=U_{\text{in}}+U_{\text{out}} =\frac{2\pi\rho_0^2 a^5}{45\varepsilon_0}+\frac{2\pi\rho_0^2 a^5}{9\varepsilon_0}.
Colocando em denominação comum:
\frac{2\pi\rho_0^2 a^5}{45\varepsilon_0}\left(1+5\right) =\frac{2\pi\rho_0^2 a^5}{45\varepsilon_0}\cdot 6 =\frac{12\pi\rho_0^2 a^5}{45\varepsilon_0} =\frac{4\pi\rho_0^2 a^5}{15\varepsilon_0}.
Portanto
U=\frac{4\pi\rho_0^2 a^5}{15\varepsilon_0}.

Passo 8

Expressão em termos da carga total Q. A carga total é
Q=\rho_0\cdot\frac{4}{3}\pi a^3 \quad\Rightarrow\quad \rho_0=\frac{3Q}{4\pi a^3}.
Substituindo \rho_0^2 na expressão de U:
\rho_0^2=\frac{9Q^2}{16\pi^2 a^6},
U=\frac{4\pi}{15\varepsilon_0}\cdot\frac{9Q^2}{16\pi^2 a^6}\cdot a^5 =\frac{4\pi}{15\varepsilon_0}\cdot\frac{9Q^2}{16\pi^2}\cdot\frac{1}{a}.
Simplificando constantes:
\frac{4\pi\cdot 9}{15\cdot 16\pi^2}=\frac{36}{240\pi}=\frac{3}{20\pi},
portanto
U=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 a}.

Passo 9

Interpretação curta (motivacional): essa U é a energia eletrostática necessária para montar a esfera carregada a partir de cargas trazidas do infinito (ou equivalente, a energia armazenada no campo elétrico). Pronto — conseguimos integrando a densidade de energia com o campo elétrico que obtemos por Gauss.

Resposta

U=\dfrac{4\pi\rho_0^{2}a^{5}}{15\varepsilon_0}
U=\dfrac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_0 a}

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