Questão 4. ( 2,5 pontos) O dióxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ) encontra-se a uma temperatura de 320 { }^{\circ} \mathrm{C} e densidade de 18 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} em um reservatório industrial. Determine a pressão do gás utilizando os seguintes modelos termodinâmicos:
(1,0 ponto) Equação corrigida pelo fator de compressibilidade, considerando \mathrm{Z}=0,93.
Dados: \mathrm{M}_{\mathrm{CO} 2}=44 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão do dióxido de carbono no reservatório usando a equação corrigida pelo fator de compressibilidade com Z=0,93.
Dados fornecidos:
  • Temperatura: 320\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade: \rho=18\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Fator de compressibilidade: Z=0,93.
  • Massa molar do \mathrm{CO}_2: M=44\\ \mathrm{kg/kmol}.
O que se pede especificamente: calcular a pressão numérica do gás (usar o modelo com o fator de compressibilidade).

Passo 2

Entendendo a teoria (passo-a-passo, sem pressa).
  • Lei dos gases perfeitos (para referência): pV = n R_u T,
onde
  • p é a pressão (Pa),
  • V é o volume (m^3),
  • n é a quantidade de matéria (kmol),
  • R_u é a constante universal dos gases ( 8314{,}462618\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)}),
  • T é a temperatura em Kelvin (K).
  • Fator de compressibilidade Z corrige o comportamento real do gás: a equação fica pV = Z\,n R_u T.
Isso significa que, para as mesmas n,T,V, a pressão real é Z vezes a pressão ideal.
  • Ligando densidade com a equação: a densidade é \rho = m/V. Como n = m/M (com M em \mathrm{kg/kmol}), tem-se n/V = \rho/M. Substituindo em pV = Z n R_u T e isolando p obtemos a forma útil em termos de densidade:
p = Z\;\rho\;\frac{R_u}{M}\;T.
Aqui
  • \dfrac{R_u}{M} é a constante específica do gás R_{\text{espec}}=\dfrac{R_u}{M} em \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • todas as variáveis já definidas acima.
Resumo: vou calcular R_{\text{espec}}=\dfrac{R_u}{M}, converter temperatura para Kelvin, calcular p_{\text{ideal}}=\rho R_{\text{espec}} T e então p = Z p_{\text{ideal}}.

Passo 3

Conversões e constantes (muito importante fazer direitinho para não errar nas unidades).
  • Converter temperatura para Kelvin:
T = 320\\ ^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 593{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante universal dos gases (usar em unidades compatíveis com M em \mathrm{kg/kmol}):
R_u = 8314{,}462618\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)}.
  • Calcular a constante específica do \mathrm{CO}_2:
R_{\text{espec}}=\frac{R_u}{M}=\frac{8314{,}462618}{44}=188{,}966\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\quad(\text{aprox.}).
Explanação rápida: dividir R_u por M transforma a constante para unidades por quilograma (em vez de por kmol), então quando multiplicada por \rho e T resulta em Pa (J/m^3 = Pa).

Passo 4

Cálculo da pressão passo a passo (sem pular contas).
  • Pressão ideal correspondente (sem fator Z):
p_{\text{ideal}}=\rho\,R_{\text{espec}}\,T.
Substituindo números:
p_{\text{ideal}} = 18\cdot 188{,}966 \cdot 593{,}15 \approx 2\,017\,533\\ \mathrm{Pa}.
(Explicando a conta: 18\cdot 188{,}966\approx 3\,401{,}39; em seguida 3\,401{,}39\cdot 593{,}15\approx 2{,}017{,}533.)
  • Agora aplicar o fator de compressibilidade Z=0,93:
p = Z\,p_{\text{ideal}} = 0{,}93\cdot 2\,017\,533 \approx 1\,876\,306\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Interpretação do resultado e unidades mais usuais.
  • Em pascal: \,p \approx 1{,}876\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em kilopascal: \,p \approx 1{,}876\cdot 10^{3}\\ \mathrm{kPa}.
  • Em bar (1 bar = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}): \,p \approx 18{,}76\\ \mathrm{bar}.
Pequeno incentivo: pronto — meio caminho andado! A ideia chave para a prova é saber derivar a fórmula que liga p, \rho, T e Z e cuidar das unidades. Se precisar, a gente repete esse tipo com outro gás ou outros valores para fixar.

Resposta

\,p \approx 1{,}876\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 18{,}76\\ \mathrm{bar}

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