Questão 4. ( 2,5 pontos) O dióxido de carbono ( \mathrm{CO}_{2} ) encontra-se a uma temperatura de 320 { }^{\circ} \mathrm{C} e densidade de 18 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} em um reservatório industrial. Determine a pressão do gás utilizando os seguintes modelos termodinâmicos:
(1,0 ponto) Equação do virial considerando \mathrm{B}=-0,015 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kmol}
Dados: \mathrm{M}_{\mathrm{CO} 2}=44 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: determinar a pressão do gás CO _2 no reservatório usando a equação do virial com o segundo coeficiente virial fornecido.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: T=320{,}^\circ\mathrm{C}.
    • Densidade do gás: \rho=18\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Segundo coeficiente virial: B=-0{,}015\\ \mathrm{m^{3}/kmol}.
    • Massa molar do \mathrm{CO}_2: M=44\\ \mathrm{kg/kmol}.
O objetivo final neste exercício é calcular a pressão p numérica (em Pa ou MPa) usando a equação do virial truncada (segunda ordem).

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar — explicação didática.
  • Ideia física: para um gás real a relação entre pressão, temperatura e volume difere do gás ideal. A equação do virial introduz correções à equação dos gases ideais por meio de termos envolvendo coeficientes viriais B, C,\ldots. Truncando após o segundo termo temos uma boa aproximação em muitas condições moderadas.
  • Definição do fator de compressibilidade Z:
Z \equiv \frac{p v_m}{R T},
onde:
  • p é a pressão (Pa),
  • v_m é o volume molar por kmol (m^3/kmol),
  • R é a constante universal dos gases (J/(kmol·K)),
  • T é a temperatura absoluta em K.
  • Equação do virial truncada (segunda virial):
Z \approx 1 + \frac{B}{v_m},
ou seja a correção ao gás ideal vem do termo \dfrac{B}{v_m}.
  • Relação útil com densidade: a densidade mássica \rho (kg/m^3) está ligada à densidade molar \dfrac{n}{V} (kmol/m^3) por
\frac{n}{V}=\frac{\rho}{M},
portanto o volume molar é
v_m=\frac{V}{n}=\frac{M}{\rho}\quad(\text{m}^3/\text{kmol}).
  • Finalmente, isolando p a partir de Z:
p = Z\left(\frac{n}{V}\right)RT = Z\left(\frac{\rho}{M}\right)RT.
Explicando em palavras: primeiro se calcula o volume molar v_m a partir da densidade; daí obtém-se Z com B e v_m; por fim calcula-se p como a pressão que corresponderia ao gás ideal corrigida pelo fator Z.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo do volume molar.
  • Converter temperatura para Kelvin:
T = 320{,}^\circ\mathrm{C} = 320 + 273{,}15 = 593{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o volume molar v_m usando v_m=M/\rho:
v_m=\frac{M}{\rho}=\frac{44}{18}=\frac{22}{9}\\ \mathrm{m^3/kmol}\approx 2{,}444\overline{4}\\ \mathrm{m^3/kmol}.
Vou usar v_m\approx 2{,}444\\ \mathrm{m^3/kmol} com mantidas as casas decimais necessárias para os cálculos seguintes.

Passo 4

Calcular o fator de compressibilidade Z pela equação do virial (até o segundo termo).
  • Aplicando
Z \approx 1 + \frac{B}{v_m},
com B=-0{,}015\\ \mathrm{m^3/kmol} e v_m\approx2{,}444\\ \mathrm{m^3/kmol}:
\frac{B}{v_m}=\frac{-0{,}015}{2{,}444\ldots}\approx -0{,}006136.
Portanto
Z \approx 1 - 0{,}006136 \approx 0{,}993864.
Interpretação rápida: Z ligeiramente menor que 1 indica comportamento um pouco mais comprimível que o ideal (efeito do B negativo).

Passo 5

Calcular a densidade molar \dfrac{n}{V} e preparar a constante dos gases.
  • Densidade molar:
\frac{n}{V}=\frac{\rho}{M}=\frac{18}{44}=\frac{9}{22}\\ \mathrm{kmol/m^3}\approx 0{,}4090909\\ \mathrm{kmol/m^3}.
  • Constante universal dos gases (no sistema SI, por kmol):
R=8{,}314{,}462\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)}\approx 8{,}314{,}462\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)}.
  • Produto R\,T:
R\,T \approx 8{,}314{,}462\cdot 593{,}15 \approx 4\,931\,723{,}5\\ \mathrm{J/kmol}.

Passo 6

Calcular a pressão usando p = Z(\rho/M)RT.
  • Primeiro, pressão ideal correspondente (sem correção):
p_{\text{ideal}}=\left(\frac{\rho}{M}\right)RT \approx 0{,}4090909\cdot 4\,931\,723{,}5\\ \mathrm{Pa}\approx 2\,017\,523{,}3\\ \mathrm{Pa}.
  • Aplicando o fator Z:
p=Z\,p_{\text{ideal}}\approx 0{,}993864\cdot 2\,017\,523{,}3\\ \mathrm{Pa}\approx 2\,005\,135{,}6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza e apresentação final.
  • O valor obtido é cerca de 2{,}00\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}, ou seja cerca de 2{,}00\\ \mathrm{MPa}. O termo virial reduziu a pressão em pouco mais de 1{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} comparado ao valor ideal — um efeito pequeno, consistente com B/v_m pequeno em módulo.

Resposta

p \approx 2{,}005\,136\\ \mathrm{Pa} \approx 2{,}01\\ \mathrm{MPa}

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