Questão 1. (2,5 pontos) Uma indústria utiliza um tanque agitado para aquecimento de água de processo, conforme listado no esquema abaixo. Inicialmente, o tanque contém 1,5 \mathrm{~m}^{3} de água líquida a 18{ }^{\circ} \mathrm{C}. Durante a operação, vapor d’água saturado a 200 kPa é injetado diretamente no tanque até que a água atinja a temperatura final de 75^{\circ} \mathrm{C}.
Sabe-se que:
  • o tanque perde calor para o ambiente à razão de 25 kW durante todo o processo;
  • o tempo total de aquecimento é de 20 minutos;
  • aproximadamente 5 \% da massa de água presente no tanque evapora devido ao aquecimento;
  • a pressão no interior do tanque permanece constante e igual à atmosférica.
Desprezando variações de energia cinética e potencial, determine a massa total de vapor que deve ser injetada no tanque. Dados para água: \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} e \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial de água no tanque: V_{0}=1{,}5\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Temperatura inicial da água: T_{i}=18^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final desejada da água: T_{f}=75^\circ\mathrm{C}.
    • Vazamento de calor para o ambiente: \dot{Q}_{\text{loss}}=25\\ \mathrm{kW} (constante durante o processo).
    • Tempo total de aquecimento: t=20\\ \mathrm{min}.
    • Aproximadamente 5\% da massa de água presente no tanque evapora devido ao aquecimento ( 5\% da massa indicada no tanque).
    • A pressão no interior do tanque permanece igual à atmosférica.
    • Propriedades da água fornecidas: c_{p}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)} e \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O que a questão pede:
    • Determinar a massa total de vapor (vapor d’água saturado) que deve ser injetada no tanque durante o processo.

Passo 2

Calcular a massa inicial de água no tanque e a massa que evapora.
  • Massa inicial de água:
m_{0}=\rho V_{0}=1000\cdot 1{,}5=1500\\ \mathrm{kg}.
  • Massa que evapora (aproximadamente 5\% da massa presente):
m_{\text{evap}}=0{,}05\,m_{0}=0{,}05\cdot1500=75\\ \mathrm{kg}.
(Explicação curta: esses 75\\ \mathrm{kg} correspondem à água que deixa a fase líquida para a fase vapor durante o aquecimento — essa vaporização consome energia.)

Passo 3

Calcular a energia necessária para aquecer a massa inicial de água de 18^\circ\mathrm{C} para 75^\circ\mathrm{C} (calor sensível).
Fórmula usada: a energia necessária para aquecer uma massa m de um líquido é
Q_{\text{sens}}=m\,c_{p}\,(T_{f}-T_{i}),
onde c_{p} é o calor específico (a energia por unidade de massa por grau).
Aplicando:
T_{f}-T_{i}=75-18=57^\circ\mathrm{C},
c_{p}(T_{f}-T_{i})=4{,}18\cdot57=238{,}26\\ \mathrm{kJ/(kg)}.
Q_{\text{sens}}=1500\cdot238{,}26=357390\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Calcular a energia necessária para vaporizar os 75\\ \mathrm{kg} de água que se evaporam.
Fórmula usada:
Q_{\text{vap}}=m_{\text{evap}}\,\lambda,
onde \lambda é o calor latente de vaporização (energia necessária para vaporizar 1 kg).
Observação e hipótese: o enunciado não fornece \lambda. Como a pressão no tanque é atmosférica, usa-se um valor típico do calor latente da água à pressão atmosférica. Para ser consistente e razoável adotamos \lambda\approx2257\\ \mathrm{kJ/kg} (valor padrão próximo ao de 100^\circ\mathrm{C}).
Logo:
Q_{\text{vap}}=75\cdot2257=169275\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Calcular a energia perdida para o ambiente durante os 20 minutos.
  • Converter tempo: t=20\\ \mathrm{min}=1200\\ \mathrm{s}.
  • Potência de perda: \dot{Q}_{\text{loss}}=25\\ \mathrm{kW}=25\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Energia perdida:
Q_{\text{loss}}=\dot{Q}_{\text{loss}}\cdot t=25\cdot1200=30000\\ \mathrm{kJ}.
(Explicação: potência em kW vezes tempo em s dá energia em kJ.)

Passo 6

Somar todas as energias que precisam ser fornecidas pelo vapor injetado.
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{sens}}+Q_{\text{vap}}+Q_{\text{loss}}=357390+169275+30000=556665\\ \mathrm{kJ}.
(Essa é a energia total que o vapor injetado deve fornecer ao sistema.)

Passo 7

Determinar quanta energia, por unidade de massa, o vapor injetado fornece ao condensar no tanque.
Quando se injeta vapor saturado, cada quilograma de vapor que condensa libera o calor latente \lambda_{\text{vapor}}. Além disso, se o vapor saturado estiver a uma temperatura de saturação T_{\text{sat}} superior à temperatura final da água, o condensado (água resultante da condensação) libera calor adicional ao resfriar até T_{f} — esse é um aporte sensível adicional por kg igual a c_{p}(T_{\text{sat}}-T_{f}).
  • O enunciado diz que o vapor injetado é saturado a 200\\ \mathrm{kPa}. A temperatura de saturação aproximada para 200\\ \mathrm{kPa} é T_{\text{sat}}\approx120{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • O calor latente aproximado a 200\\ \mathrm{kPa} é \lambda_{200}\approx2200\\ \mathrm{kJ/kg} (valor típico).
  • A contribuição sensível por kg ao resfriar de T_{\text{sat}} para T_{f} é
c_{p}(T_{\text{sat}}-T_{f})=4{,}18\cdot(120{,}2-75)=4{,}18\cdot45{,}2\approx189{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto, a energia útil fornecida por cada kg de vapor injetado (condensando e resfriando até 75^\circ\mathrm{C}) é aproximadamente
e_{\text{kg}}=\lambda_{200}+c_{p}(T_{\text{sat}}-T_{f})\approx2200+189=2389\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Observação sobre hipóteses: aqui adotei \lambda_{200}\approx2200\\ \mathrm{kJ/kg} porque o enunciado não dá tabelas. Se alguém usasse \lambda=2257\\ \mathrm{kJ/kg} e/ou não incluísse a parte sensível, o resultado mudaria um pouco. Também há uma pequena inconsistência prática entre injetar vapor a 200\\ \mathrm{kPa} e manter o tanque à pressão atmosférica; estou tomando a hipótese assumida na maioria dos exercícios: o vapor entra saturado à 200\\ \mathrm{kPa}, condensa e libera \lambda_{200}, e depois o condensado resfria até T_{f}.)

Passo 8

Calcular a massa de vapor necessária dividindo a energia total requerida pela energia fornecida por kg de vapor.
m_{s}=\frac{Q_{\text{tot}}}{e_{\text{kg}}}=\frac{556665}{2389}\approx233{,}0\\ \mathrm{kg}.
(Cálculo numérico: 2389\cdot233\approx556637\\ \mathrm{kJ}, sobra pequena diferença que corresponde a cerca de 0{,}01\\ \mathrm{kg}.)

Passo 9

Resumo das hipóteses e conselho para prova:
  • Hipóteses feitas: \lambda_{\text{vap}} adotado como 2200\\ \mathrm{kJ/kg} (para vapor saturado em torno de 200\\ \mathrm{kPa}); valor de c_{p} e \rho usados conforme enunciado; 5\% de evaporação tomado sobre a massa inicial.
  • Na prova, explique claramente qualquer valor de \lambda que adotar (normalmente se fornece tabela; se não, justifique uso de valor típico). Mostre sempre o balanço energético como fiz aqui: energia necessária = calor sensível + calor de vaporização perdido + perdas; energia fornecida por vapor = \lambda + resfriamento do condensado.

Resposta

m_{s}\approx233{,}0\\ \mathrm{kg}

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