Questão 2. ( 2,5 pontos) Um mol de um gás ideal diatômico está inicialmente à pressão de 4 atm e temperatura de 450 K . Ele passa por um ciclo mecanicamente reversível composto pelos seguintes processos:
a) ( 0,5 pontos) O gás sofre uma expansão adiabática reversível até atingir a pressão de 1,5 atm.
b) ( 0,5 pontos) Em seguida, ele é aquecido isocoricamente até que sua pressão atinja 5 atm .
c) ( 0,5 pontos) O gás sofre então uma compressão isotérmica até a pressão de 2,5 \mathrm{~atm}.
d) ( 0,5 pontos) Finalmente, retorna ao estado inicial por um processo isobárico.
Calcule \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} para cada um dos quatro processos e para o ciclo completo ( 0,5 pontos). Considere \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=29,1 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo com n=1 mol de gás ideal diatômico, com os estados e processos:
  • Estado inicial (1): P_1=4{,}0\\ \text{atm}, T_1=450\\ \text{K}.
  • (a) Expansão adiabática reversível até P_2=1{,}5\\ \text{atm}.
  • (b) Aquecimento isocórico até P_3=5{,}0\\ \text{atm}.
  • (c) Compressão isotérmica até P_4=2{,}5\\ \text{atm}.
  • (d) Retorno ao estado inicial por um processo isobárico.
Quantidades pedidas: Q, W, \Delta U e \Delta H para cada processo e para o ciclo completo. Foi dada \;C_P=29{,}1\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Observação importante (incompatibilidade do enunciado): para um processo isobárico a pressão é constante durante todo esse processo. Entretanto, o estado final do processo (c) tem P_4=2{,}5\\ \text{atm} e o estado inicial do ciclo tem P_1=4{,}0\\ \text{atm}. Não existe um processo isobárico que leve diretamente de um estado com P=2{,}5\\ \text{atm} a um estado com P=4{,}0\\ \text{atm}, pois isso exigiria mudança de pressão. Portanto o enunciado contém uma contradição: um “processo isobárico” não pode ligar dois estados com pressões diferentes. Vou calcular as grandezas para os processos (a), (b) e (c) com os dados fornecidos; para (d) e para o ciclo completo explico o porquê não é possível determinar conforme escrito.
Dados numéricos e constantes que usarei:
n=1,\qquad R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},\qquad C_P=29{,}1\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Calculo de C_V e \gamma:
C_V=C_P-R=29{,}1-8{,}314=20{,}786\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac{29{,}1}{20{,}786}\approx1{,}40.

Passo 2

Primeiro encontro o volume no estado inicial usando a equação dos gases ideais. Convertendo pressão para pascal: 1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
P_1=4{,}0\\ \text{atm}=4{,}0\cdot1{,}01325\times10^{5}=4{,}05300\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando PV=nRT para o estado 1:
V_1=\dfrac{nRT_1}{P_1}=\dfrac{1\cdot8{,}314\cdot450}{4{,}05300\times10^{5}}=0{,}009233\\ \mathrm{m^3}.
Comentário curto: V_1\approx9{,}233\\ \text{L}. Vou usar valores em SI (m ^3, Pa, J, K).

Passo 3

Conceito e fórmulas úteis:
  • Para processo adiabático reversível de gás ideal vale Q=0.
  • Relações adiabáticas (reversível): P V^{\gamma}=\text{const},\qquad T V^{\gamma-1}=\text{const},\qquad T\propto P^{(\gamma-1)/\gamma}.
  • Variação de energia interna para gás ideal: \Delta U = n C_V \Delta T.
  • Entalpia: \Delta H = n C_P \Delta T.
  • Convenção de sinais: uso \Delta U = Q - W onde W é o trabalho realizado pelo gás (portanto se o gás realiza trabalho W>0).
Cálculo de T_2 a partir de P_2:
T_2=T_1\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =450\left(\dfrac{1{,}5}{4{,}0}\right)^{\frac{1{,}4-1}{1{,}4}} =450\left(0{,}375\right)^{0{,}285714\ldots}.
Avaliação numérica:
T_2\approx450\times0{,}755594\approx340{,}02\\ \mathrm{K}.
Volume no estado 2:
P_2=1{,}5\\ \text{atm}=1{,}5\cdot1{,}01325\times10^{5}=1{,}51987\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
V_2=\dfrac{nRT_2}{P_2}=\dfrac{8{,}314\cdot340{,}02}{1{,}51987\times10^{5}}\approx0{,}01860\\ \mathrm{m^3}.
Variações de energia:
\Delta T_{a}=T_2-T_1=340{,}02-450=-109{,}98\\ \mathrm{K},
\Delta U_{a}=nC_V\Delta T_{a}=1\cdot20{,}786\cdot(-109{,}98)\approx-2{,}286{,}5\\ \mathrm{J}.
Como Q_a=0, da primeira lei \Delta U_a=Q_a-W_a
W_a=Q_a-\Delta U_a=0-(-2{,}286{,}5)=+2{,}286{,}5\\ \mathrm{J}.
Entalpia:
\Delta H_a=nC_P\Delta T_a=29{,}1\cdot(-109{,}98)\approx-3{,}200{,}5\\ \mathrm{J}.
Interpretação física curta: o gás se expande adiabatica e faz trabalho sobre o entorno (trabalho positivo), sua energia interna e entalpia diminuem (temperatura cai).

Passo 4

Conceitos:
  • Isochoric: V= constante \Rightarrow W=0 (nenhum trabalho de pressão-voluma).
  • Pressão e temperatura variam segundo P\propto T quando V constante: T_3=T_2\cdot(P_3/P_2).
  • \Delta U=nC_V\Delta T, \Delta H=nC_P\Delta T, e Q=\Delta U (já que W=0).
Cálculo de T_3:
T_3=T_2\frac{P_3}{P_2}=340{,}02\cdot\frac{5{,}0}{1{,}5}=340{,}02\cdot3{,}333333\approx1{,}133{,}39\\ \mathrm{K}.
Delta de temperatura:
\Delta T_b=T_3-T_2=1{,}133{,}39-340{,}02=793{,}37\\ \mathrm{K}.
Energia interna e calor:
\Delta U_b=nC_V\Delta T_b=20{,}786\cdot793{,}37\approx16{,}490{,}2\\ \mathrm{J},
Q_b=\Delta U_b\approx16{,}490{,}2\\ \mathrm{J},
entalpia:
\Delta H_b=nC_P\Delta T_b=29{,}1\cdot793{,}37\approx23{,}086{,}0\\ \mathrm{J}.
Comentário prático: como aquecemos a volume fixo, toda energia fornecida vai para aumentar a energia interna (ou temperatura) do gás.

Passo 5

Conceitos:
  • Isotérmico para gás ideal: \Delta U=0 e \Delta H=0 (energia interna e entalpia só dependem de T para gás ideal).
  • Trabalho reversível realizado pelo gás (positivo quando o gás se expande) em processo isotérmico: W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_{\text{final}}}{V_{\text{inicial}}}\right).
  • Usando PV=\text{const} (isoterma), \dfrac{V_4}{V_3}=\dfrac{P_3}{P_4}.
Aplicando ao nosso caso:
\dfrac{V_4}{V_3}=\dfrac{P_3}{P_4}=\dfrac{5{,}0}{2{,}5}=2.
Portanto
W_c=nRT_3\ln\!2=1\cdot8{,}314\cdot1{,}133{,}39\cdot\ln2.
Avaliação numérica:
W_c\approx8{,}314\times1{,}133{,}39\times0{,}693147\approx6{,}529{,}7\\ \mathrm{J}.
Como o processo é isotérmico para gás ideal:
\Delta U_c=0,\qquad \Delta H_c=0,\qquad Q_c=\Delta U_c+W_c=W_c\approx6{,}529{,}7\\ \mathrm{J}.
Observação sobre o sinal: aqui W_c>0 significa trabalho realizado pelo gás; apesar do enunciado chamar o passo de “compressão”, numericamente a pressão caiu de 5 para 2{,}5 atm (isto é, o gás se expandiu). Estou tratando os dados numéricos literalmente.

Passo 6

Relembrando: o estado 4 resultante do processo (c) tem P_4=2{,}5\\ \text{atm}. O estado inicial (1) tem P_1=4{,}0\\ \text{atm}. O enunciado diz que o gás “retorna ao estado inicial por um processo isobárico” (processo com pressão constante). Isso implicaria que durante (d) a pressão é uma constante P_{\text{d}}. Para que o processo (d) leve do estado 4 ao estado 1 seria necessário que P_{\text{d}}=P_4 (pressão do estado inicial do trecho) e também P_{\text{d}}=P_1 (pressão do estado final do trecho). Mas P_4\ne P_1. Logo NÃO EXISTE um processo isobárico que conecte o estado 4 com o estado 1 conforme os números fornecidos. Portanto não é possível calcular Q, W, \Delta U e \Delta H para o processo (d) nem somar para obter as grandezas do ciclo completo com os dados tal como estão. Para determinar (d) e o ciclo seria necessário corrigir o enunciado (por exemplo: fornecer a pressão correta do estado 4, ou outro valor pedido para o processo isobárico).

Resposta

Processo (a) adiabático:
Q_a=0\\ \mathrm{J},\quad W_a=+2{,}287\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_a=-2{,}287\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_a=-3{,}201\\ \mathrm{J}.
Processo (b) isocórico:
Q_b=+16{,}490\\ \mathrm{J},\quad W_b=0\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_b=+16{,}490\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_b=+23{,}086\\ \mathrm{J}.
Processo (c) isotérmico:
Q_c=+6{,}530\\ \mathrm{J},\quad W_c=+6{,}530\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_c=0\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_c=0\\ \mathrm{J}.
Processo (d) isobárico:
Impossível determinar com os dados fornecidos porque o enunciado é inconsistente: o estado inicial do passo (d) tem P_4=2{,}5\\ \text{atm} e o estado final pedido é P_1=4{,}0\\ \text{atm}; um processo isobárico não pode ligar dois estados com pressões diferentes.
Ciclo completo:
Impossível computar as grandezas do ciclo (soma direta de Q, W, \Delta U, \Delta H) enquanto a inconsistência acima não for corrigida.

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