Questão 2. ( 2,5 pontos) Um mol de um gás ideal diatômico está inicialmente à pressão de 4 atm e temperatura de 450 K . Ele passa por um ciclo mecanicamente reversível composto pelos seguintes processos:
a) ( 0,5 pontos) O gás sofre uma expansão adiabática reversível até atingir a pressão de 1,5 atm.
b) ( 0,5 pontos) Em seguida, ele é aquecido isocoricamente até que sua pressão atinja 5 atm .
c) ( 0,5 pontos) O gás sofre então uma compressão isotérmica até a pressão de
.
d) ( 0,5 pontos) Finalmente, retorna ao estado inicial por um processo isobárico.
Calcule
e
para cada um dos quatro processos e para o ciclo completo ( 0,5 pontos). Considere
.
a) ( 0,5 pontos) O gás sofre uma expansão adiabática reversível até atingir a pressão de 1,5 atm.
b) ( 0,5 pontos) Em seguida, ele é aquecido isocoricamente até que sua pressão atinja 5 atm .
c) ( 0,5 pontos) O gás sofre então uma compressão isotérmica até a pressão de
d) ( 0,5 pontos) Finalmente, retorna ao estado inicial por um processo isobárico.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo com
mol de gás ideal diatômico, com os estados e processos:
- Estado inicial (1):
, . - (a) Expansão adiabática reversível até
. - (b) Aquecimento isocórico até
. - (c) Compressão isotérmica até
. - (d) Retorno ao estado inicial por um processo isobárico.
Quantidades pedidas:
,
,
e
para cada processo e para o ciclo completo. Foi dada
.
Observação importante (incompatibilidade do enunciado): para um processo isobárico a pressão é constante durante todo esse processo. Entretanto, o estado final do processo (c) tem
e o estado inicial do ciclo tem
. Não existe um processo isobárico que leve diretamente de um estado com
a um estado com
, pois isso exigiria mudança de pressão. Portanto o enunciado contém uma contradição: um “processo isobárico” não pode ligar dois estados com pressões diferentes. Vou calcular as grandezas para os processos (a), (b) e (c) com os dados fornecidos; para (d) e para o ciclo completo explico o porquê não é possível determinar conforme escrito.
Dados numéricos e constantes que usarei:
Calculo de
e
:
Passo 2
Primeiro encontro o volume no estado inicial usando a equação dos gases ideais. Convertendo pressão para pascal:
.
Aplicando
para o estado 1:
Comentário curto:
. Vou usar valores em SI (m
, Pa, J, K).
Passo 3
Conceito e fórmulas úteis:
- Para processo adiabático reversível de gás ideal vale
. - Relações adiabáticas (reversível):
- Variação de energia interna para gás ideal:
. - Entalpia:
. - Convenção de sinais: uso
onde é o trabalho realizado pelo gás (portanto se o gás realiza trabalho ).
Cálculo de
a partir de
:
Avaliação numérica:
Volume no estado 2:
Variações de energia:
Como
, da primeira lei
dá
Entalpia:
Interpretação física curta: o gás se expande adiabatica e faz trabalho sobre o entorno (trabalho positivo), sua energia interna e entalpia diminuem (temperatura cai).
Passo 4
Conceitos:
- Isochoric:
constante (nenhum trabalho de pressão-voluma). - Pressão e temperatura variam segundo
quando constante: . -
, , e (já que ).
Cálculo de
:
Delta de temperatura:
Energia interna e calor:
entalpia:
Comentário prático: como aquecemos a volume fixo, toda energia fornecida vai para aumentar a energia interna (ou temperatura) do gás.
Passo 5
Conceitos:
- Isotérmico para gás ideal:
e (energia interna e entalpia só dependem de para gás ideal). - Trabalho reversível realizado pelo gás (positivo quando o gás se expande) em processo isotérmico:
- Usando
(isoterma), .
Aplicando ao nosso caso:
Portanto
Avaliação numérica:
Como o processo é isotérmico para gás ideal:
Observação sobre o sinal: aqui
significa trabalho realizado pelo gás; apesar do enunciado chamar o passo de “compressão”, numericamente a pressão caiu de
para
atm (isto é, o gás se expandiu). Estou tratando os dados numéricos literalmente.
Passo 6
Relembrando: o estado 4 resultante do processo (c) tem
. O estado inicial (1) tem
. O enunciado diz que o gás “retorna ao estado inicial por um processo isobárico” (processo com pressão constante). Isso implicaria que durante (d) a pressão é uma constante
. Para que o processo (d) leve do estado 4 ao estado 1 seria necessário que
(pressão do estado inicial do trecho) e também
(pressão do estado final do trecho). Mas
. Logo NÃO EXISTE um processo isobárico que conecte o estado 4 com o estado 1 conforme os números fornecidos. Portanto não é possível calcular
,
,
e
para o processo (d) nem somar para obter as grandezas do ciclo completo com os dados tal como estão. Para determinar (d) e o ciclo seria necessário corrigir o enunciado (por exemplo: fornecer a pressão correta do estado 4, ou outro valor pedido para o processo isobárico).
Resposta
Processo (a) adiabático:
Processo (b) isocórico:
Processo (c) isotérmico:
Processo (d) isobárico:
Impossível determinar com os dados fornecidos porque o enunciado é inconsistente: o estado inicial do passo (d) tem e o estado final pedido é
; um processo isobárico não pode ligar dois estados com pressões diferentes.
Impossível determinar com os dados fornecidos porque o enunciado é inconsistente: o estado inicial do passo (d) tem
Ciclo completo:
Impossível computar as grandezas do ciclo (soma direta de ,
,
,
) enquanto a inconsistência acima não for corrigida.
Impossível computar as grandezas do ciclo (soma direta de