QUESTĂO 1 (6 pontos)

Seja \rho(x, y)=x+x y^{2} a densidade de um arame semicircular parametrizado por x=2 \cos (t) e y=2 \operatorname{sen}(t), com \frac{\pi}{2} \leq t \leq \pi. Determine a massa desse arame, sabendo que ela é dada pela integral de linha M=\int_{C} \rho(x, y) d s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A densidade do arame é \rho(x,y)=x+x y^{2}.
  • O arame é o arco semicircular parametrizado por
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,
com t variando em \dfrac{\pi}{2}\le t\le \pi.
  • Pede-se a massa do arame, que é dada pela integral de linha
M=\int_{C}\rho(x,y)\,ds.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula prática para calcular M usando a parametrização. Se x=x(t) e y=y(t) para a\le t\le b, então
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt
e
M=\int_{C}\rho(x,y)\,ds=\int_{a}^{b}\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr)\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt.
Aqui cada símbolo significa:
  • x(t),y(t): coordenadas ao longo da curva em função do parâmetro t.
  • \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}: derivadas das coordenadas em relação a t.
  • ds: comprimento infinitesimal do arco correspondente a um incremento dt.

Passo 3

Calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir da parametrização x=2\cos t, y=2\sin t:
\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=2\cos t.
Agora calcular ds:
ds=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}\,dt=\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t}\,dt=\sqrt{4}\,dt=2\,dt.

Passo 4

Substituir x(t) e y(t) em \rho(x,y)=x+x y^{2}. Primeiro calcule y^{2}:
y^{2}=(2\sin t)^{2}=4\sin^{2}t.
Logo
\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr)=x(t)+x(t)\,y(t)^{2}=2\cos t+2\cos t\cdot 4\sin^{2}t=2\cos t+8\cos t\sin^{2}t.

Passo 5

Formar o integrando \rho(x(t),y(t))\,ds:
\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,ds=\bigl(2\cos t+8\cos t\sin^{2}t\bigr)\cdot 2\,dt=4\cos t\,dt+16\cos t\sin^{2}t\,dt.
Portanto a massa é
M=\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(4\cos t+16\cos t\sin^{2}t\bigr)\,dt.

Passo 6

Calcular cada integral separadamente.
  1. Para a primeira parcela:
\int_{\pi/2}^{\pi}4\cos t\,dt=4\bigl[\sin t\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=4(\sin\pi-\sin(\pi/2))=4(0-1)=-4.
  1. Para a segunda parcela use substituição u=\sin t, de modo que du=\cos t\,dt. Quando t=\pi/2 temos u=1; quando t=\pi temos u=0. Assim
\int_{\pi/2}^{\pi}16\cos t\sin^{2}t\,dt=16\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt=16\int_{1}^{0}u^{2}\,du.
Calcule a integral em u:
16\int_{1}^{0}u^{2}\,du=16\Bigl[\frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{0}=16\Bigl(0-\frac{1}{3}\Bigr)=-\frac{16}{3}.

Passo 7

Somar as duas parcelas para obter M:
M=-4-\frac{16}{3}=-\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{28}{3}.
Observação: o resultado é negativo porque \rho(x,y)=x(1+y^{2}) e, ao longo do arco com \dfrac{\pi}{2}\le t\le \pi, tem-se \cos t\le 0 então x=2\cos t\le 0, tornando \rho negativa. Matematicamente a integral é bem definida e dá -\dfrac{28}{3}.

Resposta

-\dfrac{28}{3}

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