QUESTĂO 1 (6 pontos)
Seja
a densidade de um arame semicircular parametrizado por
e
, com
. Determine a massa desse arame, sabendo que ela é dada pela integral de linha
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A densidade do arame é
. - O arame é o arco semicircular parametrizado por
com
variando em
.
- Pede-se a massa do arame, que é dada pela integral de linha
Passo 2
Vamos escrever a fórmula prática para calcular
usando a parametrização. Se
e
para
, então
e
Aqui cada símbolo significa:
-
: coordenadas ao longo da curva em função do parâmetro . -
: derivadas das coordenadas em relação a . -
: comprimento infinitesimal do arco correspondente a um incremento .
Passo 3
Calcular as derivadas
e
a partir da parametrização
,
:
Agora calcular
:
Passo 4
Substituir
e
em
. Primeiro calcule
:
Logo
Passo 5
Formar o integrando
:
Portanto a massa é
Passo 6
Calcular cada integral separadamente.
- Para a primeira parcela:
- Para a segunda parcela use substituição
, de modo que . Quando temos ; quando temos . Assim
Calcule a integral em
:
Passo 7
Somar as duas parcelas para obter
:
Observação: o resultado é negativo porque
e, ao longo do arco com
, tem-se
então
, tornando
negativa. Matematicamente a integral é bem definida e dá
.