Questão 3 ( 4,0 pontos) - Os pontos da tabela abaixo, obtidos através de um processo de medição, correspondem a posição x de uma partícula, em movimento retilíneo, em função do tempo t.
t(s) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
x(m) 0,40 0,79 1,16 1,52 1,84
Utilizando o método de interpolação de Newton, obtenha polinômios de grau 2 e 3 que interpolem os primeiros pontos dessa tabela. Use esses polinômios para estimar a posição da partícula quando t=0,5 \mathrm{~s}. Escolha a sequência de pontos para fazer sua estimativa de modo a atingir a melhor acurácia possível.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com tempos t e posições x e pede que, usando interpolação de Newton, eu obtenha polinômios de grau 2 e 3 que interpolem os primeiros pontos da tabela e que eu use esses polinômios para estimar a posição em t=0,5\\ \mathrm{s}. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} t\\ (\mathrm{s}) & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1,0\\hline x\\ (\mathrm{m}) & 0,40 & 0,79 & 1,16 & 1,52 & 1,84 \end{array}
Perguntas claras:
  1. Obter um polinômio de grau 2 que interpole os primeiros pontos (ou seja, os três primeiros pontos).
  2. Obter um polinómio de grau 3 que interpole os primeiros pontos (ou seja, os quatro primeiros pontos).
  3. Usar esses polinômios para estimar x em t=0,5\\ \mathrm{s}.
    Observação importante (para a acurácia): para estimar em t=0,5 a melhor escolha de pontos é usar aqueles mais próximos de 0,5. Aqui, os primeiros três pontos incluem t=0,4 e t=0,6 (que são os mais próximos), e os primeiros quatro também incluem esses vizinhos; portanto os primeiros pontos escolhidos são apropriados para boa acurácia.

Passo 2

Vou explicar o método de Newton (dividido em passos claros) antes de aplicar:
  • A forma de Newton do polinômio de interpolação, construída em torno de pontos t_0,t_1,\dots, é
P(t)=f[t_0]+f[t_0,t_1](t-t_0)+f[t_0,t_1,t_2](t-t_0)(t-t_1)+\cdots
onde f[t_i] é o valor da função no ponto t_i e f[t_i,t_j], f[t_i,t_j,t_k],\dots são as diferenças divididas.
  • Diferenças divididas: para dois pontos,
f[t_i,t_j]=\frac{f[t_j]-f[t_i]}{t_j-t_i}.
Para três pontos,
f[t_i,t_j,t_k]=\frac{f[t_j,t_k]-f[t_i,t_j]}{t_k-t_i},
e assim por diante. Essas quantidades são justamente os coeficientes que aparecem na forma de Newton.
  • Vantagem prática: para avaliar P(t) em um valor específico (aqui t=0,5), calculamos as diferenças divididas a partir dos pontos escolhidos e, em seguida, substituímos t na expressão de Newton usando aritmética simples com as diferenças divididas.
    Vou aplicar isso explicitamente passo a passo para os graus 2 e 3, usando os primeiros 3 e 4 pontos, respectivamente.

Passo 3

Construção do polinômio de grau 2 usando os primeiros três pontos:
Pontos usados (peguei da tabela):
(t_0,x_0)=(0,2,\;0,40),\quad (t_1,x_1)=(0,4,\;0,79),\quad (t_2,x_2)=(0,6,\;1,16).
Calculemos as diferenças divididas (cada cálculo mostrado):
  • f[t_0]=x_0=0,40.
  • f[t_1]=x_1=0,79.
  • f[t_2]=x_2=1,16.
    Primeiras diferenças divididas:
f[t_0,t_1]=\frac{0,79-0,40}{0,4-0,2}=\frac{0,39}{0,2}=1,95.
f[t_1,t_2]=\frac{1,16-0,79}{0,6-0,4}=\frac{0,37}{0,2}=1,85.
Segunda diferença dividida:
f[t_0,t_1,t_2]=\frac{1,85-1,95}{0,6-0,2}=\frac{-0,10}{0,4}=-0,25.
Assim, a forma de Newton do polinômio de grau 2 é
P_2(t)=0,40+1,95\,(t-0,2)-0,25\,(t-0,2)(t-0,4).

Passo 4

Avaliação de P_2 em t=0,5:
Calculemos passo a passo:
t-0,2=0,5-0,2=0,3,\qquad t-0,4=0,5-0,4=0,1.
Substituindo em P_2:
P_2(0,5)=0,40+1,95\cdot 0,3 -0,25\cdot 0,3\cdot 0,1.
Agora as multiplicações:
1,95\cdot 0,3=0,585,\qquad 0,3\cdot 0,1=0,03,\qquad -0,25\cdot 0,03=-0,0075.
Somando:
P_2(0,5)=0,40+0,585-0,0075=0,9775.

Passo 5

Construção do polinômio de grau 3 usando os primeiros quatro pontos:
Pontos usados (peguei da tabela):
(t_0,x_0)=(0,2,\;0,40),\\ (t_1,x_1)=(0,4,\;0,79),\\ (t_2,x_2)=(0,6,\;1,16),\\ (t_3,x_3)=(0,8,\;1,52).
Já temos algumas diferenças anteriores; calculamos as novas necessárias:
Primeiras diferenças (repetindo onde necessário):
f[t_0,t_1]=1,95,\qquad f[t_1,t_2]=1,85.
A nova primeira diferença
f[t_2,t_3]=\frac{1,52-1,16}{0,8-0,6}=\frac{0,36}{0,2}=1,80.
Segundas diferenças:
f[t_0,t_1,t_2]=\frac{1,85-1,95}{0,6-0,2}=-0,25\quad(\text{já calculado}),á
f[t_1,t_2,t_3]=\frac{1,80-1,85}{0,8-0,4}=\frac{-0,05}{0,4}=-0,125.
Terceira diferença (diferença dividida de ordem 3):
f[t_0,t_1,t_2,t_3]=\frac{-0,125-(-0,25)}{0,8-0,2}=\frac{0,125}{0,6}=\frac{5}{24}\approx 0,208333\ldots
Portanto os coeficientes do polinômio de Newton são 0,40,\\\ 1,95,\\\ -0,25,\\\ 5/24. A forma de Newton do polinômio de grau 3 é
P_3(t)=0,40+1,95\,(t-0,2)-0,25\,(t-0,2)(t-0,4)+\frac{5}{24}\,(t-0,2)(t-0,4)(t-0,6).

Passo 6

Avaliação de P_3 em t=0,5:
Já temos t-0,2=0,3 e t-0,4=0,1. Além disso
t-0,6=0,5-0,6=-0,1.
Calcule os termos um a um:
  • Primeiro termo: 0,40.
  • Segundo termo: 1,95\cdot 0,3=0,585.
  • Terceiro termo: -0,25\cdot 0,3\cdot 0,1=-0,0075.
  • Quarto termo:
\frac{5}{24}\cdot 0,3\cdot 0,1\cdot (-0,1)=\frac{5}{24}\cdot (-0,003)=-0,000625.
Somando tudo:
P_3(0,5)=0,40+0,585-0,0075-0,000625=0,976875.

Passo 7

Comentário sobre a escolha dos pontos (acurácia): para estimar em t=0,5 a regra prática é usar pontos de interpolação que estejam tão próximos quanto possível de t=0,5 e, se possível, distribuídos de forma aproximadamente simétrica ao redor do ponto de interesse. Aqui os primeiros três pontos (0,2),(0,4),(0,6) e os primeiros quatro (0,2),(0,4),(0,6),(0,8) contêm 0,4 e 0,6, que são os vizinhos mais próximos de 0,5, o que tende a dar boa acurácia. Observação numérica: P_2(0,5)=0,9775 e P_3(0,5)=0,976875 são valores muito próximos, o que sugere estabilidade do resultado e boa precisão local.

Resposta

P_2(0,5)=0,9775\\ \mathrm{m}
P_3(0,5)=0,976875\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados