Questão 3 ( 4,0 pontos) - Os pontos da tabela abaixo, obtidos através de um processo de medição, correspondem a posição
de uma partícula, em movimento retilíneo, em função do tempo
.
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,40
0,79
1,16
1,52
1,84
Utilizando o método de interpolação de Newton, obtenha polinômios de grau 2 e 3 que interpolem os primeiros pontos dessa tabela. Use esses polinômios para estimar a posição da partícula quando
. Escolha a sequência de pontos para fazer sua estimativa de modo a atingir a melhor acurácia possível.
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0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
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0,40 | 0,79 | 1,16 | 1,52 | 1,84 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com tempos
e posições
e pede que, usando interpolação de Newton, eu obtenha polinômios de grau
e
que interpolem os primeiros pontos da tabela e que eu use esses polinômios para estimar a posição em
. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Perguntas claras:
- Obter um polinômio de grau
que interpole os primeiros pontos (ou seja, os três primeiros pontos). - Obter um polinómio de grau
que interpole os primeiros pontos (ou seja, os quatro primeiros pontos). - Usar esses polinômios para estimar
em .
Observação importante (para a acurácia): para estimar ema melhor escolha de pontos é usar aqueles mais próximos de . Aqui, os primeiros três pontos incluem e (que são os mais próximos), e os primeiros quatro também incluem esses vizinhos; portanto os primeiros pontos escolhidos são apropriados para boa acurácia.
Passo 2
Vou explicar o método de Newton (dividido em passos claros) antes de aplicar:
- A forma de Newton do polinômio de interpolação, construída em torno de pontos
, é
onde
é o valor da função no ponto
e
são as diferenças divididas.
- Diferenças divididas: para dois pontos,
Para três pontos,
e assim por diante. Essas quantidades são justamente os coeficientes que aparecem na forma de Newton.
- Vantagem prática: para avaliar
em um valor específico (aqui ), calculamos as diferenças divididas a partir dos pontos escolhidos e, em seguida, substituímos na expressão de Newton usando aritmética simples com as diferenças divididas.
Vou aplicar isso explicitamente passo a passo para os grause , usando os primeiros 3 e 4 pontos, respectivamente.
Passo 3
Construção do polinômio de grau
usando os primeiros três pontos:
Pontos usados (peguei da tabela):
Pontos usados (peguei da tabela):
Calculemos as diferenças divididas (cada cálculo mostrado):
-
-
-
Primeiras diferenças divididas:
Segunda diferença dividida:
Assim, a forma de Newton do polinômio de grau
é
Passo 4
Avaliação de
em
:
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Substituindo em
:
Agora as multiplicações:
Somando:
Passo 5
Construção do polinômio de grau
usando os primeiros quatro pontos:
Pontos usados (peguei da tabela):
Pontos usados (peguei da tabela):
Já temos algumas diferenças anteriores; calculamos as novas necessárias:
Primeiras diferenças (repetindo onde necessário):
Primeiras diferenças (repetindo onde necessário):
A nova primeira diferença
Segundas diferenças:
Terceira diferença (diferença dividida de ordem 3):
Portanto os coeficientes do polinômio de Newton são
. A forma de Newton do polinômio de grau 3 é
Passo 6
Avaliação de
em
:
Já temos e
. Além disso
Já temos
Calcule os termos um a um:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Somando tudo:
Passo 7
Comentário sobre a escolha dos pontos (acurácia): para estimar em
a regra prática é usar pontos de interpolação que estejam tão próximos quanto possível de
e, se possível, distribuídos de forma aproximadamente simétrica ao redor do ponto de interesse. Aqui os primeiros três pontos
e os primeiros quatro
contêm
e
, que são os vizinhos mais próximos de
, o que tende a dar boa acurácia. Observação numérica:
e
são valores muito próximos, o que sugere estabilidade do resultado e boa precisão local.